Question

已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于点O，∠FOH=90°，EF=4．

①如图3，矩形ABCD由2个全等的正方形组成，则GH=？
②如图4，矩形ABCD由n个全等的正方形组成，则GH=？
刚才那个图是图4，现在上图3

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Answer 1

（1）证明：如图，∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠EAB+∠AEB=90°．
∵∠EOB=∠AOF=90°，
∴∠FBC+∠AEB=90°，
∴∠EAB=∠FBC，
∴△ABE≌△BCF，
∴BE=CF；
（2）解：方法1：如图，过点A作AM∥GH交BC于M，
过点B作BN∥EF交CD于N，AM与BN交于点O′，
则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形，
∴EF=BN，GH=AM，
∵∠FOH=90°，AM∥GH，EF∥BN，
∴∠NO′A=90°，
故由（1）得，△ABM≌△BCN，∴AM=BN，
∴GH=EF=4；
方法2：过点F作FM⊥AB于M，过点G作GN⊥BC于N，
得FM=GN，由（1）得，∠HGN=∠EFM，
得△FME≌△HGN，
得FE=GH=4．

 

（3）①∵是两个正方形，则GH=2EF=8，②4n．

Answer 2

（1）用相似解，过F作AB垂线，H作AD垂线，两三角形相似GH=2EF=8.
（2）同理GH=nEF