Question

高一数学，三角函数问题，求解答

已知函数F(x)=cos^2(x-π/6）-sin^2x (1)求f(π/12）的值 （2） 若对于任意的x属于[0,π/2] ，都有 f(x)<=c 求实数c的取值范围 主要是化简问题。。麻烦把化简写的详细一点谢谢。。

Answer 1

F(x)=cos^2(x-π/6）-sin^2x
＝[1＋cos﹙2x-π/3﹚]/2-﹙1－cos2x﹚/2
＝1/2＋1/4×cos2x＋√3/4×sin2x-1/2＋1/2×cos2x
＝3/4×cos2x＋√3/4×sin2x
＝√3/2﹙√3/2×cos2x＋1/2×sin2x﹚
＝√3/2sin﹙2x＋π/3﹚
f(π/12）=√3/2sin﹙π/6＋π/3﹚＝√3/2
对于任意的x属于[0,π/2] ，都有 f(x)<=c
∴f(x)的最大值≦c
2x＋π/3∈[π/3,4π/3]
√3/2sin﹙2x＋π/3﹚∈[-3/4,√3/2]
c≧√3/2

Answer 2

(1)
f(x)=cos^2(x-π/6）-sin^2x
f(x)=[1+cos(2x-π/3)]/2-(1-cos2x)/2 (降幂）
= [cos(2x-π/3)+cos2x]/2
=[cos2xcosπ/3+sin2xsinπ/3+cos2x]/2 （展开）
=(3/2*cos2x+√3/2*sin2x)/2 （重组）
=√3/2*(1/2*sin2x+√3/2cos2x) （提取）
=√3/2sin(2x+π/3) （辅助角）
f(π/12)=√3/2sin(π/6+π/3)=√3/2
（2）∵x∈[0,π/2]
∴2x+π/3∈[π/3,4π/3]
∴2x+π/3=π/2时，f(x)取得最大值√3/2
∵x属于[0,π/2] ，都有 f(x)<=c
∴c≥f(x)max ∴c≥√3/2

Answer 3

f（x）=1/2[1+cos(2x-π/3)]-1/2(1-cos2x)=1/2cos(2x-π/3)+1/2cos2x= √3/2sin(2x+π/3)
(展开再合并，辅助角公式)
（1）代入求
（2）求f（x）在[0,π/2]上的最大值，就是c的最小值。