Question

已知a>0,函数f（x)=x+a/X（x>0），证明函数f（x）在（0，√a]上是减函数，在[√a，∞）上是增函数。

求具体过程，谢谢！

Answer 1

设0<x1<x2≤√a 则0<x1x2<a
∴f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+a(1/x1-1/x2)=(x1-x2)(1-a/x1x2)>0
∴f(x1)>f(x2)
∴f(x)在（0，√a]上是减函数

设√a≤x3<x4 则x3x4>a
∴f(x3)-f(x4)=(x3-x4)(1-a/x3x4)<0
∴f(x3)<f(x4)
∴f(x)在[√a,+∞)上是增函数

Answer 2

求导得f'(x)=1-a/x²
当x在(0,根号a]上时，f'(x)<0，
所以函数f(x)=x+a/x在(0,根号a]上是减函数
当x在[√a,+∞）上时，f'(x)>0，
所以函数f(x)=x+a/x在[√a,+∞）上是增函数

追问

没学导数