Question

设函数f（x）=|1-1/X|(X>0），证明

1 ，求f（x）的单调区间；
2，是否存在正实数a，b（a<b），使函数f（x）的定义域为[a，b]时的值域为[a/b, b/a]? 若存在，求a，b的值，若不存在，请说明理由。

Answer 1

1. 1/x在x>0时单调递减，由复合函数单调性，令1-1/x＜0和＞0得单调减区间（0,1）:；单调增区间（1，＋∞）
2. 由1可知f（1）最小，为0
a＜=1，b ＜=1时，f（a）=b/6，f（b）=a/6，得a=b，舍去
a＜=1，b＞1时，f（1）=a/6，得a=0，与定义域不符，舍去
a＞1时，f（a）=a/6，f（b）=b/6得a=3-√3；b=3+√3

Answer 2

解：（1）0<x<=1 f(x)=1/x-1 f(x)为减函数，x>1 f(x)=1-1/x f(x)为增函数
（2）假设存在：分三种情况讨论如下：(i)b<=1.f(x)为减函数,此时有f(a)=1/a-1 =b/a,f(b)=1/b-1 =a/b.,解方程组得：a+b=1.(ii)a<1<b 最小值a/b=0，这种情况不存在。(iii)1<a<b, f(a)=1-1/a=a/b, f(b)=1-1/b=b/a.解方程组得a+b=1,这与1<a<b相矛盾。综合上述：0<a<b<=1时a+b=1