Question

如图所示,已知平行四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,AC=10,BD=8

（1）若AC⊥BD，试求平行四边形ABCD的面积。
（2）若AC与BD的夹角∠AOD=60°，求平行四边形ABCD的面积。
（3）试讨论：若把题目中“平行四边形ABCD”改为“四边形ABCD”，且∠AOD=θ，AC=a，BD=b，试求四边形ABCD的面积。（用含θ，a，b的代数式表示）

Answer 1

1、∵ABCD是平行四边形
∴OC=OA=1/2AC=5
∵AC⊥BD
∴S△ABD=S△BCD=1/2BD×OA=1/2×8×5=20
∴S平行四边形ABCD=2S△ABD=2×20=40
2、∵OB=OD=1/2BD=4
∴S△AOD=S△AOB=1/2OD×OAsin60°
=1/2×4×5×√3/2=5√3
∴S△ABD=2S△AOD=10√3
∴S平行四边形ABCD=2S△ABD=20√3
3、S△AOD=1/2OD×OA×sinθ
S△BOC=1/2OB×OC×sinθ
S△AOB=1/2OB×OA×sinθ
S△COD=1/2OD×OC×sinθ
S四边形ABCD
=S△AOD+S△BOC+S△AOB+S△COD
=1/2OD×OA×sinθ+1/2OB×OC×sinθ+1/2OB×OA×sinθ+1/2OD×OC×sinθ
=1/2OD×OA×sinθ+1/2OD×OC×sinθ+1/2OB×OC×sinθ+1/2OB×OA×sinθ
=1/2OD(OA+OC)×sinθ+1/2OB(OA+OC)×sinθ
=1/2OD×AC×sinθ+1/2OB×AC×sinθ
=1/2AC(OD+OB)×sinθ
=1/2AC×BD×sinθ
=1/2ab×sinθ

Answer 2

平行四边形ABCD的面积=AC*BD=10*8=80
∵∠AOD=60°
∴∠COD=120°
平行四边形ABCD的面积=AO*OD*sin∠AOD+CO*OD*sin∠COD
=AO*OD*sin60°+CO*OD*sin120°
=OD*sin60° (AO+CO)
=1/2BD*sin60° AC
=20√3
平行四边形ABCD的面积
=1/2[AO*OD*sin∠AOD+CO*OD*sin(180°-∠AOD)+BO*OC*sin∠BOC+BO*AO*sin(180°-∠BOC)]
=1/2[AO*OD*sin∠AOD+CO*OD*sin∠AOD+BO*OC*sin∠BOC+BO*AO*sin∠BOC]
=1/2[AC*OD*sin∠AOD+BO*AC*sin∠BOC]
=1/2*AC*BD*sin∠AOD
=1/2absinθ

Answer 3

答案同下