Question

求x^2y''+xy'-y=0的通解

1.已知y1(x)=x是 x^2 y''+xy'-y=0的一个特解,求此方程的通解.
2.求微分方程满足所给初始条件的特解:y''-4y'+3=0,y|x=0=6,y'|x=0=10.
3.试作一个三阶常系数齐次线性微分方程,使其特解为x,e^x.
这三题的答案分别是:1.y=C1x+C2 1/x
2.y=4e^x+2e^3x
3.y'''-y''=0

Answer 1

1、(Eular方程),做变换x=e^s,原方程可化为关于s的方程：D(D-1)y+Dy-y=0,其中Dy定义为dy/ds,D^2y定义为d^2y/ds^2.解这个关于s的微分方程：D^2y-y=0,通解为y(s)=c1*e^s+c2*e^(-s),由于x=e^s,即得到通y(x)=c1*x+c2/x.当然,不要忘记还有一个特解y(x)=0.
2、原齐次方程用特征值法求得特解为：y(x)=c1*e^x+c2*e^(3x),代入两个初值：c1+c2=6,c1+3c2=10,解得c1=4,c2=2,所求特解为：y(x)=4e^x+2e^(3x).
3、要求作一个三阶方程,它的特征方程是一个三次方程,有三个根,a1,a2,a3,若它们两两不等,那么通解就是c1*e^(a1x)+c2*e^(a2x)+c3*e^(a3x),从中我们看出有一个特解形式具有e^x,确定有一个特征根为1,不妨令a1=1.但是x这个特解不能在上述通解中找到,说明有重特征根,a2=a3,那么通解是：c1*e^(x)+c2*e^(a2x)+c3*x*e^(a2x),这样可以确定a2=a3=0,因为这样才能出现只含x一次项的特解.因此,只要构造一个首项系数为1的三次多项式,使得它的零点是1,0,0就可以了.