Question

如图，AB为圆O的直径，CD⊥AB，垂足为D，弧AC=弧CE。

如图，AB为圆O的直径，CD⊥AB，垂足为D，弧AC=弧CE。（1）求证：AF=CF（2）若圆O的半径为5，AE=8，求EF的长。

Answer 1

（1）

延长CD交⊙O于G

∵AB⊥CG

∴弧AC=弧AG

∵弧AC=弧CE

∵弧CE=弧AG

∴∠CAF=∠ACF

∴AF=CF

（2）

因为三角形GOE=三角形GOA

所以EG=AG=4

又 OE=5

所以OG=OD=3

所以CG=AD=2

设GF=X，则CF=AF=4-X

根据勾股定理得

X=1.5

所以EF=5.5 

Answer 2

可能有点儿麻烦 很久不做初中证明题了
第一问 连接OC BE 记OC与AE交点为G
由弧AC=弧CE可知 <COA=<EBA
又因为AB为直径 <BEA=90° 所以<EAB=<OCD <COA=<AOC OC=OA(圆的半径相同) 故 △ODC≌△OGA 所以 OD=OG DA=CG 又因为<DFA=<CFG △FDA≌△FGC AF=FC
第二问 由AB=2OA=10 AE=8 勾股定理 BE=6
<EBA=<COD OG∥BE 因为O为AB中点 OG为中位线 2OG=BE 由△ODC≌△OGA OD=OG=3
AD=AO-OD=2 三角形相似 得到 AF=2.5 故最终EF=AE-AF=5.5