Question

求∫ln(1-x)/xdx在0到1的定积分。

Answer 1

容易证明，该广义积分收敛，那么就可以用无穷级数展开
ln(1-x)=-x-x^2/2-x^3/3-x^4/4-……
ln(1-x)/x=-1-x/2-x^2/3-x^3/4-……=-∑[n从0到∞]
x^n/(n+1)
∫[0->1]
-∑[n从0到∞]
x^n/(n+1)=-∑[n从0到∞]x^(n+1)/(n+1)²
|
[0->1]
=-∑[n从0到∞]
1/(n+1)²
=-(1+1/2²+1/3²+1/4²+……)=-π²/6
而且这是spence
function,原式=-Li2(1)=-π²/6