Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x＞0时，有xf′（x）-f（...

设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x＞0时，有xf′（x）-f（x）＞0恒成立，则不等式x2•f（x）＞0的解集为（　　）A．（-2，2）B．（-∞，-2）∪（2，+∞）C．（-2，0）∪（2，+∞）D．（-∞，-2）∪（0，2）

Answer 1

解：构造函数g（x）=
f(x)
x
，g′（x）=
xf′(x)-f(x)
x2
，
∵当x＞0时，有xf′（x）-f（x）＞0恒成立，即g′（x）=
xf′(x)-f(x)
x2
＞0恒成立，
∴在（0，+∞）内g（x）单调递增．
∵f（2）=0，
∴f（x）在（0，2）内恒有f（x）＜0；在（2，+∞）内恒有f（x）＞0．
又∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴在（-∞，-2）内恒有f（x）＜0；在（-2，0）内恒有f（x）＞0．
又不等式x2f（x）＞0的解集等价为不等式f（x）＞0的解集．
∴不等式的解集为（-2，0）∪（2，+∞）．
故选：C．