Question

已知,函数.若函数没有零点,求实数的取值范围;当时,求函数的极大值.

已知,函数. 若函数没有零点,求实数的取值范围; 当时,求函数的极大值.

Answer 1

给出的函数是一个二次三项式和一个指数式的乘积,指数式恒大与,要使原函数没有零点,只需要二次三项式对应的二次方程的判别式小于即可;
求出函数的导函数,由,得,由导函数的两个零点,把函数的定义域分段,借助于二次函数判断导函数在各区间段内的符号,从而得到原函数在各区间段内的增减性,得到极大值点,把极大值点的横坐标代入原函数求得函数的极大值.
解:令.
,.
函数没有零点,方程无实根.
则,解得:.
所以函数没有零点的实数的取值范围是;
由.
得:
.
令,得:或.
当时,.
所以,当时,,函数为增函数;
当时,,函数为减函数;
当时,,为增函数;
所以,当时,取得极大值,极大值为.
本题考查了函数零点的判断,考查了利用函数导函数研究函数的单调性与极值,连续函数在定义域内的某点处,左右两侧的单调性不同,则该点为函数的极值点,先增后减为极大值点,先减后增为极小值点.此题是中档题.