什么是公因数
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公约数
公因数,亦称“公约数”。它是一个能同时整除若干整数的整数[1]。如果一个整数同时是几个整数的因数,称这个整数为它们的“公因数”;公因数中最大的称为最大公因数。
给定若干个整数,如果有一个(些)数是它们共同的因数,那么这个(些)数就叫做它们的公因数。而全部公因数中最大的那个,称为这些整数的最大公因数。
公约数与公倍数相反,就是既是A的约数同时也是B的约数的数,12和15的公约数有1,3,最大公约数就是3。再举个例子,30和40,它们的公约数有1,2,5,10,最大公约数是10。
公因数,亦称“公约数”。它是一个能同时整除若干整数的整数[1]。如果一个整数同时是几个整数的因数,称这个整数为它们的“公因数”;公因数中最大的称为最大公因数。
给定若干个整数,如果有一个(些)数是它们共同的因数,那么这个(些)数就叫做它们的公因数。而全部公因数中最大的那个,称为这些整数的最大公因数。
公约数与公倍数相反,就是既是A的约数同时也是B的约数的数,12和15的公约数有1,3,最大公约数就是3。再举个例子,30和40,它们的公约数有1,2,5,10,最大公约数是10。
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公因数
公因数,亦称“公约数”。它是一个能同时整除若干整数的整数。如果一个整数同时是几个整数的因数,称这个整数为它们的“公因数”;公因数中最大的称为最大公因数。 对任意的若干个正整数,1总是它们的公因数。
中文名
公因数
外文名
Common factor
性质
科学
类别
数学
别称
公约数释义
公因数
给定若干个整数,如果有一个(些)数是它们共同的因数,那么这个(些)数就叫做它们的公因数。而全部公因数中最大的那个,称为这些整数的最大公因数。
公约数与公倍数相反,就是既是A的约数同时也是B的约数的数,12和15的公约数有1,3,最大公约数就是3。再举个例子,30和40,它们的公约数有1,2,5,10,最大公约数是10。
公因数,又称公约数。在数论的叙述中,如果n和d都是整数,而且存在某个整数c,使得n=cd,就说d是n的一个因数,或说n是d的一个倍数,记作d|n(读作d整除n)。如果d|a且d|b,我们就称d是a和b的一个公因数。根据裴蜀定理,对每一对整数a,b,都有一个公因数d,使得d=ax+by,其中x和y是某些整数,并且a和b的每一个公因数都能整除这个d。于是d的绝对值叫做最大公因数。
求几个整数的最大公因数,只要把它们的所有共有的质因数连乘,所得的积就是它们的最大公因数。
最大公因数
定义
如果数a能被数b整除,a就叫做b的倍数,b就叫做a的约数。约数和倍数都表示一个整数与另一个整数的关系,不能单独存在。如只能说16是某数的倍数,2是某数的约数,而不能孤立地说16是倍数,2是约数。
"倍"与"倍数"是不同的两个概念,"倍"是指两个数相除的商,它可以是整数、小数或者分数。"倍数"只是在数的整除的范围内,相对于"约数"而言的一个数字的概念,表示的是能被某一个自然数整除的数。
几个整数,公有的约数,叫做这几个数的公约数;其中最大的一个,叫做这几个数的最大公约数。例如:12、16的公约数有1、2、4,其中最大的一个是4,4是12与16的最大公约数,一般记为(12,16)=4。12、15、18的最大公约数是3,记为(12,15,18)=3。
几个自然数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个自然数,叫做这几个数的最小公倍数。例如:4的倍数有4、8、12、16,……,6的倍数有6、12、18、24,……,4和6的公倍数有12、24,……,其中最小的是12,一般记为[4,6]=12。12、15、18的最小公倍数是180。记为[12,15,18]=180。若干个互质数的最小公倍数为它们的乘积的绝对值。
求法
质因数分解法
把几个数先分别分解质因数,再把各数中的全部公有的质因数和独有的质因数提取出来连乘,所得的积就是这几个数的最小公倍数。
例如:求6和15的最小公倍数。先分解质因数,得6=2×3,15=3×5,6和15的全部公有的质因数是3,6独有质因数是2,15独有的质因数是5,2×3×5=30,30里面包含6的全部质因数2和3,还包含了15的全部质因数3和5,且30是6和15的公倍数中最小的一个,所以[6,15]=30。
短除法
短除法:短除法求最大公约数,先用这几个数的公约数连续去除,一直除到所有的商互质为止,然后把所有的除数连乘起来,所得的积就是这几个数的最大公约数。短除法的本质就是质因数分解法,只是将质因数分解用短除符号来进行。
短除符号就是除号倒过来。短除就是在除法中写除数的地方写两个数共有的质因数,然后落下两个数被公有质因数整除的商,之后再除,以此类推,直到结果互质为止(两个数互质)。
而在用短除计算多个数时,对其中任意两个数存在的因数都要算出,其它没有这个因数的数则原样落下。直到剩下每两个都是互质关系。求最大公因数便乘一边,求最小公倍数便乘一圈。无论是短除法,还是分解质因数法,在质因数较大时,都会觉得困难。这时就需要用新的方法。
辗转相除法
辗转相除法:辗转相除法是求两个自然数的最大公约数的一种方法,也叫欧几里德算法。
这就是辗转相除法的原理。
例如,求(319,377):
∵ 319÷377=0(余319)
∴(319,377)=(377,319);
∵ 377÷319=1(余58)
∴(377,319)=(319,58);
∵ 319÷58=5(余29)
∴ (319,58)=(58,29);
∵ 58÷29=2(余0)
∴ (58,29)= 29;
∴ (319,377)=29。
可以写成右边的格式。
用辗转相除法求几个数的最大公约数,可以先求出其中任意两个数的最大公约数,再求这个最大公约数与第三个数的最大公约数,依次求下去,直到最后一个数为止。最后所得的那个最大公约数,就是所有这些数的最大公约数[1]。
应用
一般题目
试卷上会让你去求某若干个数的最大公因数。
例:
12和18的最大公因数
12的因数有:±1、±2、±3、±4、±6、±12
18的因数有:±1、±2、±3、±6、±9、±18
12和18的公因数有:±1、±2、±3、±6,而最大的数是6,最大公因数也就是6了!
公因数,亦称“公约数”。它是一个能同时整除若干整数的整数。如果一个整数同时是几个整数的因数,称这个整数为它们的“公因数”;公因数中最大的称为最大公因数。 对任意的若干个正整数,1总是它们的公因数。
中文名
公因数
外文名
Common factor
性质
科学
类别
数学
别称
公约数释义
公因数
给定若干个整数,如果有一个(些)数是它们共同的因数,那么这个(些)数就叫做它们的公因数。而全部公因数中最大的那个,称为这些整数的最大公因数。
公约数与公倍数相反,就是既是A的约数同时也是B的约数的数,12和15的公约数有1,3,最大公约数就是3。再举个例子,30和40,它们的公约数有1,2,5,10,最大公约数是10。
公因数,又称公约数。在数论的叙述中,如果n和d都是整数,而且存在某个整数c,使得n=cd,就说d是n的一个因数,或说n是d的一个倍数,记作d|n(读作d整除n)。如果d|a且d|b,我们就称d是a和b的一个公因数。根据裴蜀定理,对每一对整数a,b,都有一个公因数d,使得d=ax+by,其中x和y是某些整数,并且a和b的每一个公因数都能整除这个d。于是d的绝对值叫做最大公因数。
求几个整数的最大公因数,只要把它们的所有共有的质因数连乘,所得的积就是它们的最大公因数。
最大公因数
定义
如果数a能被数b整除,a就叫做b的倍数,b就叫做a的约数。约数和倍数都表示一个整数与另一个整数的关系,不能单独存在。如只能说16是某数的倍数,2是某数的约数,而不能孤立地说16是倍数,2是约数。
"倍"与"倍数"是不同的两个概念,"倍"是指两个数相除的商,它可以是整数、小数或者分数。"倍数"只是在数的整除的范围内,相对于"约数"而言的一个数字的概念,表示的是能被某一个自然数整除的数。
几个整数,公有的约数,叫做这几个数的公约数;其中最大的一个,叫做这几个数的最大公约数。例如:12、16的公约数有1、2、4,其中最大的一个是4,4是12与16的最大公约数,一般记为(12,16)=4。12、15、18的最大公约数是3,记为(12,15,18)=3。
几个自然数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个自然数,叫做这几个数的最小公倍数。例如:4的倍数有4、8、12、16,……,6的倍数有6、12、18、24,……,4和6的公倍数有12、24,……,其中最小的是12,一般记为[4,6]=12。12、15、18的最小公倍数是180。记为[12,15,18]=180。若干个互质数的最小公倍数为它们的乘积的绝对值。
求法
质因数分解法
把几个数先分别分解质因数,再把各数中的全部公有的质因数和独有的质因数提取出来连乘,所得的积就是这几个数的最小公倍数。
例如:求6和15的最小公倍数。先分解质因数,得6=2×3,15=3×5,6和15的全部公有的质因数是3,6独有质因数是2,15独有的质因数是5,2×3×5=30,30里面包含6的全部质因数2和3,还包含了15的全部质因数3和5,且30是6和15的公倍数中最小的一个,所以[6,15]=30。
短除法
短除法:短除法求最大公约数,先用这几个数的公约数连续去除,一直除到所有的商互质为止,然后把所有的除数连乘起来,所得的积就是这几个数的最大公约数。短除法的本质就是质因数分解法,只是将质因数分解用短除符号来进行。
短除符号就是除号倒过来。短除就是在除法中写除数的地方写两个数共有的质因数,然后落下两个数被公有质因数整除的商,之后再除,以此类推,直到结果互质为止(两个数互质)。
而在用短除计算多个数时,对其中任意两个数存在的因数都要算出,其它没有这个因数的数则原样落下。直到剩下每两个都是互质关系。求最大公因数便乘一边,求最小公倍数便乘一圈。无论是短除法,还是分解质因数法,在质因数较大时,都会觉得困难。这时就需要用新的方法。
辗转相除法
辗转相除法:辗转相除法是求两个自然数的最大公约数的一种方法,也叫欧几里德算法。
这就是辗转相除法的原理。
例如,求(319,377):
∵ 319÷377=0(余319)
∴(319,377)=(377,319);
∵ 377÷319=1(余58)
∴(377,319)=(319,58);
∵ 319÷58=5(余29)
∴ (319,58)=(58,29);
∵ 58÷29=2(余0)
∴ (58,29)= 29;
∴ (319,377)=29。
可以写成右边的格式。
用辗转相除法求几个数的最大公约数,可以先求出其中任意两个数的最大公约数,再求这个最大公约数与第三个数的最大公约数,依次求下去,直到最后一个数为止。最后所得的那个最大公约数,就是所有这些数的最大公约数[1]。
应用
一般题目
试卷上会让你去求某若干个数的最大公因数。
例:
12和18的最大公因数
12的因数有:±1、±2、±3、±4、±6、±12
18的因数有:±1、±2、±3、±6、±9、±18
12和18的公因数有:±1、±2、±3、±6,而最大的数是6,最大公因数也就是6了!
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指定两个或两个以上的整数,如果有一个整数是它们共同的因数,那么这个数就叫做它们的公因数,亦称“公约数”。
例:
1.
对任意的若干个整数,1总是它们的公因数。
2.
对于30,40,120,它们的公因数有±1、±2、±5、±10。
例:
1.
对任意的若干个整数,1总是它们的公因数。
2.
对于30,40,120,它们的公因数有±1、±2、±5、±10。
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就是两个数共同的因数,比如2和5,公因数是10、20、30、40、、、
这些既是2也是5的因数(10、20、30=2*?,10、20、30=5*?)
这些既是2也是5的因数(10、20、30=2*?,10、20、30=5*?)
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