设函数f(x)定义域为r,满足f(x)+f(-x)=2
设函数y=f(x)的定义域为R,并且满足f(x-y)=f(x)-f(y),且f(2)=1,当x>0时,f(x)>0.(1)求f(0)的值;(2)判断函数f(x)的奇偶性;...
设函数y=f(x)的定义域为R,并且满足f(x-y)=f(x)-f(y),且f(2)=1,当x>0时,f(x)>0.
(1)求f(0)的值;
(2)判断函数f(x)的奇偶性;
(3)如果f(x)+f(x+2)<2,求x的取值范围. 展开
(1)求f(0)的值;
(2)判断函数f(x)的奇偶性;
(3)如果f(x)+f(x+2)<2,求x的取值范围. 展开
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(1).令x=y,则f(0)=f(x)-f(x),
∴f(0)=0
(2).令x=0,则f(-y)=f(0)-f(y),
∵f(0)=0,∴f(-y)=-f(y),
∴f(-x)=-f(x),
即f(x)在R上是奇函数.
(3).令x=4,y=2,得f(4-2)=f(4)-f(2),即f(4)=2f(2)=2,
由f(x)+f(x+2)<2,得f(x)<f(4)-f(x+2),
∴f(x)<f(4-x-2),即f(x)<f(2-x),
下判断函数的单调单调性.
设x 1 <x 2 ,且x 2 =x 1 +t,t>0,
由f(x-y)=f(x)-f(y),得
f(x 1 )=f(x 2 -t)=f(x 2 )-f(t),
∵t>0,∴f(t)>0,
∴f(x 1 )-f(x 2 )=-f(t)<0,
即f(x 1 )<f(x 2 ),
∴f(x)在R上是增函数,
∴由f(x)<f(2-x),得x<2-x,
解得x<1.
∴x的取值范围是(-∞,1).
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江苏华简晟01
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