Question

微积分多元函数微积分问题，如图第23题，求解答过程！

Answer 1

你好：

就是极坐标形式吧

等于∫（0到π/2)da ∫(0到1）ln（1+p2）pdp

这个就是1/2∫（0到π/2)da ∫(0到1）ln（1+p2）d(p2+1)
另p2+1=t
就是1/2∫（0到π/2)da ∫(1到2）lntdt
就是1/2∫（0到π/2)da （2ln2-1）
就是π/4乘以（2ln2-1）

追问

∫(1到2）lntdt到
1/2∫（0到π/2)da （2ln2-1）这一步

不懂怎么解。能把这个步骤写详细点吗？

追答

就是lnx的原函数不会求吧？
∫lnxdx=xlnx- ∫xdlnx=xlnx- ∫1 dx=xlnx-x
这就会了吧？

Answer 2

极坐标变换x＝rcosa，y＝rsina，0<=a<=pi/2，0<=r<=1。于是
l＝积分（从0到pi/2）da 积分（从0到1）ln(1+r^2)rdr 变量替换1+r^2=t

＝pi/2*0.5积分（从1到2）lnt dt
＝pi/4*【tlnt－t】|上限2下限1
＝pi/4*(2ln2－1)