Question

计算行列式？

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Answer 1

Answer 2

Answer 3

Answer 4

思路: (1),第i行的x倍逐次加到第(i+1)行上去(i=1,2 ........, n-1)，然后按照第n行展开。结果应该是 ∑ai*x^(n-i), i=0,1.......n
(2),从第i+1列开始，每列乘以 -1/ai (i=1,2....n),都加到第1列上去。结果因该是
(a0-∑1/ai)*a1a2....an (i=1,2.....n). 先写这些, 以下继续
(3). 第1行乘以-1，加到第(i+1)行上去 i=1,2....,n.得到一个行列式 ，然后从这个行列式的第 (i+1)列开始(i=1,2....n-1),乘以(a1/a(i+1))加到它的第一列上去。(这里假定 ai≠0，如果ai=0,行列式的值为0.), 最终结果是 a1[1+∑(1/ai)],i=1,2......n
(4). 设原行列式值是 D(n),按照第一列展开后，再按第1行展开可得如下的递推关系式：
D(n)=(a+b)D(n-1)-abD(n-2)，其中 D1=a+b，D2=a^2+b^2+ab.
将这个递推关系 移项可得 D(n)-aD(n-1)=b[D(n-1)-aD(n-2)]-------------1.以及如下的关系式：D(n)-bD(n-1)=a[D(n-1)-bD(n-2)]------------2. 由1式一直递推下去可得 D(n)-aD(n-1)=(D2-a*D1)*b^(n-2)=b^n ----- 3； 同理，由2式一直递推下去可得 D(n)-bD(n-1)=(D2-b*D1)*a^(n-2)=a^n ----- 4. 式3乘以b 减去 式4乘以a可得，
(b-a)*D(n)=b^(n+1)-a^(n+1),若a≠b≠0,那么原行列式的值D(n)=[a^(n+1)-b^(n+1)]/(a-b).若a=b≠0,对a≠b的代数式可将b当作变量，此时相当于求极限(b趋于a时是0/0型)，使用洛必塔法则，对求得的D(n)的分子分母同时对b求导得(n+1)*b^n=(n+1)*a^n, 此即是当a=b时行列式的值。或者直接利用式3或4计算，当a=b时的行列式值，D(n)-aD(n-1)=a^n,(a≠0，若a=0,可按a≠b计算行列式的值。a,b都为0，行列式的值为0）两边同时除以a^n得，D(n)/a^n-D(n-1)/a^(n-1)=1,即
数列Cn=D(n)/a^n是等差数列，于是可求得 D(n)/a^n=Cn=C1+(n-1)*1,C1=D1/a. 此时D1=a+b=2a, 所以 D(n)=(n+1)*a^n,结果相同。
(5).第1行的-1倍分别加到第2到第n行上去，然后第2行开始每行提取公因数后，可知行列式的值为0