Question

再来两题线性代数的证明题！请高手们指教哟！

(1)证明：三维行向量空间R^3中的向量集合V={(x,y,z) |x+y+z=0}是向量空间，并求出它的维数和基。
(2)设a1,a2,....,an和β1,β2,..,βn是n维列向量空间R^n的两个基，证明：向量集合V={a∈R^n | a=∑(i=1,n)kiai==∑(i=1,n)kiβi}.
注∑(i=1,n)kiai表示下标i=1,上标为n的连加号,K_i乘以a_i
希望解题的过程详细点，谢谢大家！

Answer 1

第一题
设α、β两个向量是齐次方程x+y+z=0的解 那么α+β,kα依旧齐次方程的解 即向量的加法及数乘对向量空间封闭 所以V是向量空间
而(1,1,-2) 、(1,-1,0)为其子空间的基础解系，也就是V的一组基，那么基数dimV=2
第二题
向量组坐标的定义得
a=∑(i=1,n)kiai成立则有序数组ai(i=1..n)是向量a在基ai(i=1..n)下的坐标 而且存在a属于V中有唯一的一组数满足a=∑(i=1,n)kiai
而题目条件中∑(i=1,n)kiβi也满足等于a
说明a就是V 因为如果a是V的子集 那么必定只有一组数满足a=∑(i=1,n)kiai条件 现在有两组表明a只能是V本身

追问

哦！第二题我没写完，题目是：(2)设a1,a2,....,an和β1,β2,..,βn是n维列向量空间R^n的两个基，证明：向量集合V={a∈R^n | a=∑(i=1,n)kiai==∑(i=1,n)kiβi}.是R^n的子空间

追答

前面已经证明集合就是向量空间本身 那么当然是R^n的子空间 （其实第二题 我把第一天的V看混了 直接就是当成向量空间来证的）