Question

已知a>b>c>0,求证:a^2ab^2bc^2c>a^(a+b)b^(c+a)c^(a+b)

除了排序不等式的那种做法。

Answer 1

你的表达有歧义，且有输入错误。　我估计题目是这样的：
已知：a＞b＞c＞0，求证：
［a^（2a）］［b^（2b）］［c^（2c）］＞［a^（b＋c）］［b^（a＋c）］［c^（a＋b）］。

证明：
∵a＞b＞c＞0，∴a/b＞1、a/c＞1、b/c＞1、a-－b＞0、a－c＞0、b－c＞0，
∴（a/b）^（a－b）＞1、（a/c）^（a－c）＞1、（b/c）^（b－c）＞1，
∴［（a/b）^（a－b）］［（a/c）^（a－c）］［（b/c）^（b－c）］＞1，
∴［a^（a－b＋a－c）］［b^（－a＋b＋b－c）］［c^（－a＋c－b＋c）］＞1，
∴［a^（2a）］［b^（2b）］［c^（2c）］＞［a^（b＋c）］［b^（a＋c）］［c^（a＋b）］。

Answer 2

不等号两边取自然对数
左边=2alna+2blnb+2clnc
右边=(c+b)lna+(c+a)lnb+(a+b)lnc
左边减右边=(2a-c-b)lna+(2b-c-a)lnb+(2c-a-b)lnc
=(a-c)lna+(a-b)lna+(b-c)lnb+(b-a)lnb+(c-a)lnc+(c-b)lnc
=(a-c)ln(a/c)+(a-b)ln(a/b)+(b-c)ln(b/c)
因为a>b>c>0
所以a-c>0 a-b>0 b-c>0
a/c>1 ln(a/c)>0
a/b>1 ln(a/b)>0
b/c>1 ln(b/c)>0
所以左边减右边>0
所以左边>右边