Question

高三数学题。求解答。

已知曲线C:y=4ax^3+x,过点Q(0,-1)做曲线C的切线l,切点为P.(1)求证:不论a取何值,切点P总在一定直线上.(2)若a＞0,设曲线在P点的切线的垂线与x轴交于T,求|OT|的最小值.

Answer 1

(1)令y'=12ax²+1

设P(x0,y0)
设kPQ=(y0-1)/x0
又因为k=12ax0²+1
所以(y0-1)/x0=12ax0²+1
==>12ax0³+x0=y0-1
==>12ax0³+x0=4ax0³+x0-1
==>x0=1/2³√a
①
再代入y=4ax³+x
==>y0=1/2+1/2³√a②
由②-①可得y0-x0=1/2
==>x0-y0+1/2=0
所以P总在直线L上
（2)所求直线为L'则k'=-1/k=-1/(12ax0²+1)=-1/(3³√a+1)
则所求直线为
y-(1/2+1/2³√a)=-1/(3³√a+1)(x-1/2³√a)
令²√a=t

则有y-(1/2+1/2t)=-1/(3t+1)(x-1/2t)
令y=0
可得x=(3t²4t+2)/2t=3t/2+1/t+2≥2√(3t/2)×(1/2)+2=√3+2
则OT
最小值是√3+2