Question

数列{a n }，前n项和S n ，满足 a 1 = 1 2 ， S n +2 a n+1 =1(n∈ N * ) （1）

数列{a n }，前n项和S n ，满足 a 1 = 1 2 ， S n +2 a n+1 =1(n∈ N * ) （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{nS n }前n项和T n ．

Answer 1

（1）∵
S
n
+2
a
n+1
=1(n∈
N
*
)
∴S
n-1
+2a
n
=1（n≥2）
两式相减可得，S
n
-S
n-1
+2a
n+1
-2a
n
=0
即2a
n+1
=a
n
∴
a
n+1
a
n
=
1
2
∵
a
1
=
1
2
∴数列{a
n
}是以
1
2
为首项以
1
2
为公比的等比数列
∴
a
n
=
1
2
?(
1
2
)
n-1
=
(
1
2
)
n
（2）：∵
S
n
+2
a
n+1
=1(n∈
N
*
)
∴
S
n
+2?(
1
2
)
n+1
=1
∴
S
n
=1-(
1
2
)
n
∴nS
n
=n
-n?(
1
2
)
n
令
S
n
=1?
1
2
+2?(
1
2
)
2
+…+n?(
1
2
)
n
则
1
2
S
n
=
(
1
2
)
2
+2?(
1
2
)
3
+…+(n-1)?(
1
2
)
n
+n?(
1
2
)
n+1
两式相减可得，
1
2
S
n
=
1
2
+(
1
2
)
2
+…+(
1
2
)
n
-n?(
1
2
)
n+1
=
1
2
(1-
1
2
n
)
1-
1
2
-n?(
1
2
)
n+1
∴S
n
=
2-
1
2
n-1
-
n
2
n
=
2-
2+n
2
n
∴
T
n
=1-1?
1
2
+2-2?(
1
2
)
2
+…+n-n?(
1
2
)
n
=
(1+2+3+…+n)-[1?
1
2
+2?(
1
2
)
2
+…+n?(
1
2
)
n
]
=
n(n+1)
2
-2+
2+n
2
n