Question

已知圆O：x2+y2=1（点O为坐标原点），一条直线l：y=kx+b（b＞0）与...

已知圆O：x2+y2=1（点O为坐标原点），一条直线l：y=kx+b（b＞0）与圆O相切，并与椭圆x22+y2=1交于不同的两点A、B． （1）设b=f（x），求f（k）的表达式； （2）若OA•OB=23，求直线l的方程．

Answer 1

解：（1）y=kx+b（b＞0）与x2+y2=1相切，则|b|1+k2=1，
即b2=k2+1，∵b＞0，∴b=k2+1.
由y=kx+bx22+y2=1消去y，
得（2k2+1）x2+4kbx+2b2-2=0．
∵l与椭圆交于不同的两点，
∴△=16k2b2-4（2k2+1）（2b2-2）=8k2＞0，k≠0．
∴b=k2+1(k≠0)
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=-4kb2k2+1，x1x2=2b2-22k2+1
OA•OB=x1x2+y1y2=+x1x2+(kx1+b)(kx2+b)=（1+k2）x1x2+kb（x1+x2）+b2=(1+k2)2k2+12b2-2+kx2k2+1-4kb+b2=k2+12k2+1OA•OB=23，
∴k2+12k2+1=23•k2=1.
所以b2=2，∵b＞0，∴b=2，
∴l：y=x+2或y=-x+2