Question

一道数学建模的作业？

社会学家发现了一种被称为社会流传的现象，指的是一条信息、一种技术创新或一种文化时尚在人群中的传播。这样的人群可以分为两类：一类接受到该信息，另一类没有。在一个人口数量已知的固定人群中，有理由假设流传率与已接收到信息的人数和待接收的人数的乘积成正比。若X表示N个人的居民中已接收到信息的人数，那么关于社会流传的数学模型为dX/dt = kX(N -X)，其中t表示时间，k是正常数。
a)解这个模型，并证明它的解是一条Logistic曲线。
b)什么时候此信息传播最快？
c)最终会有多少人接受到此信息？

Answer 1

a)dx/dt=kx(N-x),
[1/x+1/(N-x)]dx=kNdt,
ln|x/(N-x)|=kNt+lnc,
x/(N-x)=ce^(kNt),
x=cNe^(kNt)/[1+ce^(kNt)]。
b)x=N/2时此信息传播最快。
c)t--->+∞时x--->N,最终会有N个人接受到此信息。
仅供参考。

Answer 2

比较慢的。凸。

Answer 3

5564667✘十55643ⅹ216