Question

已知函数f（x）=alnx+x2，（a为常数）（1）若a=-2，求证：f（x）在...

已知函数f（x）=alnx+x2，（a为常数） （1）若a=-2，求证：f（x）在（1，+∞）上是增函数； （2）若存在x∈[1，e]，使f（x）≤（a+2）x，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）a=-2，f（x）=-2lnx+x2f′(x)=-2x+2x=2(x2-1)x，∵当x＞1时，x2-1＞0，∴f'（x）＞0
故f（x）在（1，+∞）上是增函数．
（2）令g（x）=f（x）-（a+2）x，
若存在x∈[1，e]使f（x）≤（a+2）x等价于：当x∈[1，e]时，g（x）min≤0g′(x)=ax+2x-(a+2)=2x2-(a+2)x+ax=(x-1)(2x-a)x，x∈[1，e]
由g'（x）=0解得x1=1，x2=a2
（i）当a2≤1时，g'（x）＞0，g（x）在[1，e]上单调增，g（x）min=g（1）=1-（a+2）≤0，∴-1≤a≤2
（ii）当1＜a2＜e时，
x
(1，a2)
a2
(a2，e)
f'（x）
-
0
+
f（x）
↘
极小值
↗∴g(x)min=g(a2)=alna2-a24-a，∵0＜lna2＜1∴alna2-a＜0
∴2＜a＜2e时，g（x）≤0恒成立．
（iii）当a2≥e时，g'（x）＜0，g（x）在[1，e]上单调减g（x）min=g（e）=a+e2-（a+2）e≤0，∴a≥e2-2ee-1
又e2-2ee-1-2e=-e2e-1＜0，∴a≥2e
综上可知，当a≥-1时，存在x∈[1，e]使f（x）≤（a+2）x．