Question

求函数f(x)=-x^2+2ax-3在[1,3]上的最大值g（a）

Answer 1

f(x)=-x^2+2ax-3=－（x－a）²＋a²－3
当x=a时，最大值为a²－3
只有当a=3时，最大值=3²－3=6

Answer 2

f′(x)=-2x+2a＜0,则：x＞a时单减
∴讨论①当a＞3时：f(x)在[1,3]上单增∴函数f(x)=-x^2+2ax-3在[1,3]上的最大值g(a)=g(3)=6a-12∈（6，＋∞）
②当a＜1时：f(x)在[1,3]上单减∴函数f(x)=-x^2+2ax-3在[1,3]上的最大值g(a)=g(1)=2a-4∈（－∞，－2）
③当1≤a≤3时：函数f(x)=-x^2+2ax-3在[1,3]上的最大值g(a)=g(a)=a²-3
∈[－2,6]
综上所述：当且仅当a＞3时，函数f(x)=-x^2+2ax-3在[1,3]上有最大值g(a)=g(3)=6a-12＞6