Question

求f(x)=(1+x)^-1/x x不等于0 e,x=0

分段函数求导?
设f(x)={[(1+x)^(1/x0]-e,x不等于0
0,x=0
求f(x)在x=0的导数
因(1+x)^(1/x)-e=e[e ^(ln(1+x)/x-1)-1]——e[(ln(1+x)/x)-1](x趋于0)(上面那步是怎么处算,怎么转下就转成e[e ^(ln(1+x)/x-1)-1)
故f'(0)=lim x趋于0[f(x)-f(0)]/x=limx趋于0 [(1+x)^(1/x)-e]/e
=elim x趋于0 [(1/x) ln(1+x)-1]/x
=elim x趋于0 [ln(1+x)-x]/(x^2)
=elim x趋于0 [1/(1+x)]-1/2x
=-(e/2)
详细讲下每一步怎么算的.依据是什么!
设f(x)={[(1+x)^(1/x0]-e,x不等于0
0,x=0
上面两个是在一个大括号内，上下各一个）
二楼老兄好历害呀！帮助把这个也解了

Answer 1

因(1+x)^(1/x)-e=e[e ^(ln(1+x)/x-1)-1]——e[(ln(1+x)/x)-1](x趋于0)(上面那步是怎么处算,怎么转下就转成e[e ^(ln(1+x)/x-1)-1)
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这是因为用了恒等关系a^b=e^ln(a^b)=e^(blna),
所以(1+x)^(1/x)=e^ln[(1+x)^(1/x)]=e^[(1/x)ln(x+1)],
所以(1+x)^(1/x)-e=e^[(1/x)ln(x+1)]-e=e*e^[(1/x)ln(x+1)-1]-e
=e{e^[(1/x)ln(x+1)-1]-1}
接着用了等价无穷小替换：e^u-1 ~ u (u-->0),因为(1/x)ln(x+1)-1-->0 (x-->0),所以e^[(1/x)ln(x+1)-1]-1 ~ (1/x)ln(x+1)-1 (x-->0)
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故f'(0)=lim x趋于0[f(x)-f(0)]/x=limx趋于0 [(1+x)^(1/x)-e]/e
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这一步最后显然不是除以e,而是除以x
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=elim x趋于0 [(1/x) ln(1+x)-1]/x
=elim x趋于0 [ln(1+x)-x]/(x^2)
=elim x趋于0 [1/(1+x)-1]/2x
=-(e/2)
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剩下的这几步主要就是用了两次洛必达法则了,倒数第二步到最后一步用洛必达法则时跳步了,应该再加上：
=elimx趋于0 [-1/(1+x)^2]/2 再代入0得到：
=-e/2
--------------回答完毕-------------
那个题我也帮你解了,可是发现有一处表示导数的一撇老是显示不了,我修改了几次都不行,最后一次修改之后贴子突然消失了!我正在投诉中.