Question

已知圆M的方程为x^2+(y-2)^2=1,直线l的方程为x-2y=0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA、PB，切点为A、B

（1）若∠APB=60度，求线段AB的长（2）当∠APB最大时，求点P的坐标（3）求证：经过A、P、M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标

Answer 1

连接AB  PO  x显然AB⊥PO  PO为∠APB的角平分线

∠APO=BPO=30°

1/2AB=1/2PA

PA=PB=根号3

AB=根号3

设P（a,a/2)

Answer 2

（3）设P（2m，m），MP的中点Q
因为PA是圆M的切线，所以经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，
故其方程为：(x－m)2＋
化简得：x2+y2－2y－m（2x+y－2）=0，此式是关于m的恒等式，故x2+y2－2y=0且（2x+y－2）=0，
解得或
所以经过A，P，M三点的圆必过定点（0，2）或