Question

帮忙！ 数学题！ 急！

在△ABC中，AB=2根号5，AC=4，BC=2,以AB为边向△ABC外作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长。
解：∵AC=4，BC=2，AB=2
5
，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ACB为直角三角形，∠ACB=90°．
分三种情况：
如图（1），过点D作DE⊥CB，垂足为点E．易证△ACB≌△BED，
易求CD=2
10
；
如图（2），过点D作DE⊥CA，垂足为点E．易证△ACB≌△DEA，
易求CD=2
13
；
如图（3），过点D作DE⊥CB，垂足为点E，过点A作AF⊥DE，垂足为点F．
∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵∠DAB+∠DBA=90°，
∴∠EBD+∠DAF=90°，
∵∠EBD+∠BDE=90°，∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠DBE=∠ADF，
∵∠BED=∠AFD=90°，DB=AD，
∴△AFD≌△DEB，易求CD=3根号2
蓝色空格处为根号！

Answer 1

4/2\2--8/2--4

AB=2根号5，AC=4，BC=2, 得出AB²=AC²+BC²，△ABC为直角三角形，斜边是AB
设CD与AB相交于E点，分别过C、D点做△ABC、△ABD的垂线，垂足分别为F、M
△ABD为等腰三角形，所以M为AB中点 DM=BM=根号5
△EMD与△EFC相似（各有一直角，又有对角）， 所以CE：DE=CF：DM=EF：ME
△ACF为直角三角形，CF=AC*AB/AB=4/根号5，AC=2根号5，勾股定理求出AF=（4/5）倍根号30
MF=AF-AM==（4/5）倍根号30 - 根号5
CF：DM=EF：ME=4/根号5 ：根号5=4:5 MF=EF+ME
求出EF=4/9 倍MF
勾股定理求出CE，同理求出DE
CD=CE+DE

因为 △ABD为等腰直角三角形
所以AD^2+BD^2=AB^2 AD=BD 2*AD^2=AB^2
AD^2=(2√5)2/2=10
AD=√10
由余弘定理得 csc∠CAB=(AC2+AB2-BC2)/2*AC*AB
=(4*4+2√5*2√5-2*2)/2*4*2√5
=2/√5
sin∠CAB=√(1-(csc∠CAB)^2 )=√(1-(2/√5) )^2=√5/5
csc∠CAD=csc(∠CAB+45)
=csc∠CAB*csc∠45-sin∠CAB*sin∠45
=2/√5*√2/2-√5/5*√2/2=√10/10
CD^2=AC^2+AD^2-2*AC*AD*csc∠CAD
=4^2+√10^2-2*4*√10*√10/10
=16+10-8
=18
CD=√18=3√2

AB为边做等腰直角三角形，有三种情况。
对应AD长分别为 2√5，√10，2√10
角BAD分别对应 角A+90、角A+45、角A+45.
因为AB=4，知道两边和夹角，用余弦定理求第三边吧，不算太繁。

哦，如果以AB为斜边，那么AC=BC=根号10（：x的平方+x的平方=2倍根号5的平方，算出x=根号10） 由已知知道∠ABD=∠BAD=45° ，又因为2倍根号5的平方=20=4的平方+2的平方 得三角形ABC是以AB为斜边，∠ACB为直角的直角三角形，又cos∠ABC=（AB的平方+BC的平方-Ac的平方）/2*AB*BC=（2倍根号5）/5 （由sin平方+cos平方=1 算出sin∠ABC=（根号5）/5）已知BD、CB长求CD长 cos∠CBD=cos（∠ABC+45°）=cos∠ABC*cos45°-sin∠ABC*sin45°=（BC平方+BD平方-CD平方）/2*BC*CD=（根号10）/10 由此算出CD=3倍根号2 （麻烦自己算下，我没验算，可能有个别数算错，所以请您验算下）
如果是以AB为直角边做等腰直角三角形，那么跟上面一样，因为∠ABD=90°，所以cos∠CBD=（∠ABC+90°）=负sin∠ABC=BC平方+BD平方-CD平方）/2*BC*CD=（负的根号5）/5 得到CD=根号下（26+8倍根号2）
顺便说一句 . .. 哪相似了 完全是三角形ABC=三角形BDE （以AB为直角边）白痴... 0| 评论
检举 | 23 分钟前飘渺的绿梦 | 十四级一、当AB＝BD＝2√5时，∠ABD＝90°。
由余弦定理，有：
cos∠ABC＝（AB^2＋BC^2－AC^2）/（2AB×BC）＝（20＋4－16）/（2×2√5×2）＝1/√5，
∴sin∠ABC＝√［1－（cos∠ABC）^2］＝√（1－1/5）＝2/√5，
∴cos∠CBD＝cos（90°＋∠ABC）＝－sin∠ABC＝－2/√5，
∴CD^2＝BD^2＋BC^2－2BD×BCcos∠CBD＝20＋4－2×2√5×2×（－2/√5）＝40，
∴CD＝2√10。

二、当AD＝AB＝2√5时，∠BAD＝90°。
由余弦定理，有：
cos∠BAC＝（AB^2＋AC^2－BC^2）/（2AB×AC）＝（20＋16－4）/（2×2√5×4）＝2/√5，
∴sin∠BAC＝√［1－（cos∠BAC）^2］＝√（1－4/5）＝1/√5，
∴cos∠CBD＝cos（90°＋∠BAC）＝－sin∠BAC＝－1/√5，
∴CD^2＝AD^2＋AC^2－2AD×ACcos∠CBD＝20＋16－2×2√5×4×（－1/√5）＝52，
∴CD＝2√13。

三、当AD＝BD时，显然有：BD＝2√5/√2＝√10、∠ABD＝45°。
∴cos∠CBD
＝cos（45°＋∠ABC）＝cos45°cos∠ABC－sin45°sin∠ABC
＝（1/√2）×（1/√5）－（1/√2）×（2/√5）＝－1/√10。
∴CD^2＝BD^2＋BC^2－2BD×BCcos∠CBD＝10＋4－2×√10×2×（－1/√10）＝18，
∴CD＝3√2。

综上一、二、三所述，得：满足条件的CD的长是2√10、或2√13、或3√2。

Answer 2

AB为边做等腰直角三角形，有三种情况。

对应AD长分别为 2√5，√10，2√10

     角BAD分别对应 角A+90、角A+45、角A+45.

因为AB=4，知道两边和夹角，用余弦定理求第三边吧，不算太繁。

追问

不要用高中知识 我看不懂
要初二知识！

Answer 3

AB=2根号5，AC=4，BC=2, 得出AB²=AC²+BC²，△ABC为直角三角形，斜边是AB
设CD与AB相交于E点，分别过C、D点做△ABC、△ABD的垂线，垂足分别为F、M
△ABD为等腰三角形，所以M为AB中点 DM=BM=根号5
△EMD与△EFC相似（各有一直角，又有对角）， 所以CE：DE=CF：DM=EF：ME
△ACF为直角三角形，CF=AC*AB/AB=4/根号5，AC=2根号5，勾股定理求出AF=（4/5）倍根号30
MF=AF-AM==（4/5）倍根号30 - 根号5
CF：DM=EF：ME=4/根号5 ：根号5=4:5 MF=EF+ME
求出EF=4/9 倍MF
勾股定理求出CE，同理求出DE
CD=CE+DE

Answer 4

哦，如果以AB为斜边，那么AC=BC=根号10（：x的平方+x的平方=2倍根号5的平方，算出x=根号10） 由已知知道∠ABD=∠BAD=45° ，又因为2倍根号5的平方=20=4的平方+2的平方 得三角形ABC是以AB为斜边，∠ACB为直角的直角三角形，又cos∠ABC=（AB的平方+BC的平方-Ac的平方）/2*AB*BC=（2倍根号5）/5 （由sin平方+cos平方=1 算出sin∠ABC=（根号5）/5）已知BD、CB长求CD长 cos∠CBD=cos（∠ABC+45°）=cos∠ABC*cos45°-sin∠ABC*sin45°=（BC平方+BD平方-CD平方）/2*BC*CD=（根号10）/10 由此算出CD=3倍根号2 （麻烦自己算下，我没验算，可能有个别数算错，所以请您验算下）
如果是以AB为直角边做等腰直角三角形，那么跟上面一样，因为∠ABD=90°，所以cos∠CBD=（∠ABC+90°）=负sin∠ABC=BC平方+BD平方-CD平方）/2*BC*CD=（负的根号5）/5 得到CD=根号下（26+8倍根号2）
顺便说一句 . .. 哪相似了 完全是三角形ABC=三角形BDE （以AB为直角边）白痴...

Answer 5

一、当AB＝BD＝2√5时，∠ABD＝90°。
　　由余弦定理，有：
　　cos∠ABC＝（AB^2＋BC^2－AC^2）/（2AB×BC）＝（20＋4－16）/（2×2√5×2）＝1/√5，
　　∴sin∠ABC＝√［1－（cos∠ABC）^2］＝√（1－1/5）＝2/√5，
　　∴cos∠CBD＝cos（90°＋∠ABC）＝－sin∠ABC＝－2/√5，
　　∴CD^2＝BD^2＋BC^2－2BD×BCcos∠CBD＝20＋4－2×2√5×2×（－2/√5）＝40，
　　∴CD＝2√10。

二、当AD＝AB＝2√5时，∠BAD＝90°。
　　由余弦定理，有：
　　cos∠BAC＝（AB^2＋AC^2－BC^2）/（2AB×AC）＝（20＋16－4）/（2×2√5×4）＝2/√5，
　　∴sin∠BAC＝√［1－（cos∠BAC）^2］＝√（1－4/5）＝1/√5，
　　∴cos∠CBD＝cos（90°＋∠BAC）＝－sin∠BAC＝－1/√5，
　　∴CD^2＝AD^2＋AC^2－2AD×ACcos∠CBD＝20＋16－2×2√5×4×（－1/√5）＝52，
　　∴CD＝2√13。

三、当AD＝BD时，显然有：BD＝2√5/√2＝√10、∠ABD＝45°。
　　∴cos∠CBD
　　　＝cos（45°＋∠ABC）＝cos45°cos∠ABC－sin45°sin∠ABC
　　　＝（1/√2）×（1/√5）－（1/√2）×（2/√5）＝－1/√10。
　　∴CD^2＝BD^2＋BC^2－2BD×BCcos∠CBD＝10＋4－2×√10×2×（－1/√10）＝18，
　　∴CD＝3√2。

综上一、二、三所述，得：满足条件的CD的长是2√10、或2√13、或3√2。

注：因事外出，初中方法请参考他人的答案，若明天还没有相关的答案，则本人会在明天给出。