Question

高中数学问题求大神解答

Answer 1

第一个柯西就够了

第二题
∑1/a^3(b+c)=∑(abc)^2/a^3(b+c)=∑(bc)^2/(ab+ac)
根据柯西不等式或者权方和不等式得
∑(bc)^2/(ab+ac)>=(ab+bc+ac)^2/(2ab+2bc+2ac)=(∑ab)/2
然后均值得(∑ab)/2>=3(abc)^(2/3)/2=3/2
所以∑1/a^3(b+c)>=3/2
2次取等条件a=b=c

第三题
证明 据二元均值不等式得:
√[2(4a+1)]≤(2+4a+1)/2; ①
同理√[2(4b+1)]≤(2+4b+1)/2②
√[2(4c+1)]≤(2+4c+1)/2; ③
√[2(4d+1)]≤(2+4d+1)/2. ④
①+②+③+④得:
√{2(4a+1)]+√[2(4b+1)]+√[2(4c+1)]+√[2(4d+1)]≤ [8+4(a+b+c+d)d+4]/2=8.
上式约去√2 即得√(4a+1)+√(4b+1)+√(4c+1)+√(4d+1)≤4√2

第四题图太小，看不清

第五题：
若a=2 b=-1/2 c=-4 d=0
满足ab+bc+cd+da=1
a^3/(b+c+d)+b^3/(a+c+d)+c^3/(a+b+d)+d^3/(a+b+c)<1/3
题设应为a,b,c,d>=0
由平均值不等式
a^3/(b+c+d)+[a(b+c+d)]/9>=2a^2/3
同理b^3/(a+c+d)+[b(a+c+d)]/9>=2b^2/3
c^3/(a+b+d)+[c(a+b+d)]/9>=2c^2/3
d^3/(a+b+c)+[d(a+b+c)]/9>=2d^2/3
a^3/(b+c+d)+b^3/(a+c+d)+c^3/(a+b+d)+d^3/(a+b+c)
>=(2/3)(a^2+2b^2+2c^2+2d^2)-[a(b+c+d)+b(a+c+d)+c(a+b+d)+d(a+b+c)]/9
=(2/3)(a^2+2b^2+2c^2+2d^2)-[2+2(ac+bd)]/9
>=(2/3)(a^2+2b^2+2c^2+2d^2)-(2+a^2+b^2+c^2+d^2)/9
=(5/9)(a^2+b^2+c^2+d^2)-2/9
>=(5/9)(ab+bc+cd+da)-2/9
=1/3
取等号时a=b=c=d=1/2

第六题
证明:
依Cauchy不等式知,
∑[a/(1+b^2c)]≥(a+b+c+d)^2/(a+b+c+d+∑(ab^2c))]
∴只需证明:
ab^2c+bc^2d+cd^2a+da^2b≤4.
事实上,
ab^2c+bc^2d+cd^2a+da^2b
=(ab+cd)(ad+bc)
≤[(ab+bc+cd+da)/2]^2
=[(a+c)(b+d)/2]^2
≤1/4[(a+b+c+d)/2]^4
=4.
故原不等式成立.

第七题：没条件？

Answer 2

你加我的qq1084546108 我给你讲

Answer 3

1,2,3都是用1的技巧

追问

第一题我是直接用柯西不等式的~~
2，3题也可以直接用么，如果要变形怎么变形呢~

Answer 4

什么专题？

追问

不等式啊，高中的知识，应该还是比较基本的（老师说的）~~

追答

太帅了