Question

已知函数f（x）=ex-e-x，其中e是自然对数的底数（1）判断函数f（x）在定...

已知函数f（x）=ex-e-x，其中e是自然对数的底数 （1）判断函数f（x）在定义域R上的奇偶性，并证明； （2）若关于x的不等式f（x）≥mex在[-1，1]上恒成立，求实数m的取值范围； （3）已知正数a满足：存在x0∈[1，2]，使得ex0f（x0）＜a成立，试判断loga（-2t2+2t）的值的正负号，其中t∈（0，1）

Answer 1

解：（1）函数的定义域为R．
则f（-x）=e-x-ex=-（ex-e-x）=-f（x），
则函数f（x）在定义域R上的为减函数；
（2）若关于x的不等式f（x）≥mex在[-1，1]上恒成立，
则ex-e-x≥mex在[-1，1]上恒成立，
即m≤1-e-2x=1-(1e2)x在[-1，1]上恒成立，
设g（x）=1-(1e2)x，则g（x）在[-1，1]上递增，
则当x=-1时，函数g（x）最小为g（-1）=1-e2，
则m≤1-e2，
即实数m的取值范围是（-∞，1-e2]；
（3）当x∈[1，2]，则ex∈[e，e2]，
设u=ex，则exf（x）=u（u-1u）＜a，u∈[e，e2]，
即a＞u2-1恒成立，最大值为（e2）2-1=e4-1，
∴a＞e4-1，
故a＞1，loga（-2t2+2t）=loga[-2（t-12）2+12]，t∈（0，1），
则g（t）=-2（t-12）2+12在t=12时取得最大值为12，
∴logag（t）的最大值为loga12＜0，
故loga（-2t2+2t）＜0．