Question

已知f( x +2)=x+4 x ,则f(x)的解析式为.

求下列各题中的函数f(x)的解析式． (1) 已知f( ＋2)＝x＋4 ，求f(x)； (2) 已知f ＝lgx，求f(x)； (3) 已知函数y＝f(x)满足2f(x)＋f ＝2x，x∈R且x≠0，求f(x)； (4) 已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)＝f(x)＋2x，求f(x)．

Answer 1

（1）f(x)＝x 2 －4(x≥2)（2）f(x)＝lg (x>1)．（3）f(x)＝ x－ （4）f(x)＝x 2 －x＋1. (1) (解法1)设t＝ ＋2，则 ＝t－2，即x＝(t－2) 2 ， ∴ f(t)＝(t－2) 2 ＋4(t－2)＝t 2 －4， ∴ f(x)＝x 2 －4(x≥2)． (解法2)∵ f( ＋2)＝( ＋2) 2 －4，∴ f(x)＝x 2 －4(x≥2)． (2) 设t＝ ＋1，则x＝ ，∴ f(t)＝lg ，即f(x)＝lg (x>1)． (3) 由2f(x)＋f ＝2x，①将x换成 ，则 换成x，得2f ＋f ＝ ，② ①×2－②，得3f(x)＝4x－ ，得f(x)＝ x－ . (4) ∵ f(x)是二次函数，∴ 设f(x)＝ax 2 ＋bx＋c(a≠0)．由f(0)＝1，得c＝1. 由f(x＋1)＝f(x)＋2x，得a(x＋1) 2 ＋b(x＋1)＋1＝(ax 2 ＋bx＋1)＋2x， 整理，得(2a－2)x＋(a＋b)＝0，由恒等式原理，知 ∴f(x)＝x 2 －x＋1