Question

设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3, 已知η1，η2，η3 是它的三个解向量, 且

η1=【2,3,4,5】T，η2+η3=【1，2，3，4】T
求该方程组的通解
有一种解法是：
导出齐次组的基础解系所含向量个数 = 4 – 3 = 1
取ζ=2η1-（η2+η3）=（3，4，5，6）T
则它就是解,从而也是基础解系.
故非齐次方程组的通解为x=kζ+η1（k∈R）
这个解法我看不太明白

Answer 1

这个类型的题目必须明白!

(1)首先确定齐次线性方程组的基础解系所含向量个数
即: 导出组的基础解系所含向量个数 = n-r(A) = 4 – 3 = 1

(2) 确定基础解系.
这里要用到方程组解的若干性质, 教材上都有.
如: 非齐次线性方程组的解的差是其导出组的解
齐次线性方程组的解的线性组合仍是解
所以 η1-η2, η1-η3 都是导出组的解
所以 (η1-η2) + (η1-η3 ) = 2η1-(η2+η3) = (3,4,5,6)^T 仍是导出组的解
结合(1)知是基础解系

(3) 确定特解
此题特解已经给了 η1

(4) 写出通解
这个自然.

Answer 2

当非齐次解的线性组合，如k1η1+k2η2+......+knηn；当 k1+k2k....kn=0时k1η1+k2η2+......+knηn=0是其次方程组的解。