Question

如图在四边形ABCD中,AC交BD于点O，点E、点F分别是OA、OC的中点

（1）如果AD//BC,AD=BC.观察猜想DF与BE之间的关系，并证明你的猜想
（2）如果AB=7，BE=4.求线段BO的取值范围

Answer 1

（1）猜想DF与BE平行且相等
因为AD//BC,AD=BC，所以四边形ABCD为平行四边形
又因为AC交BD于点O，点E、点F分别是OA、OC的中点，所以OE=OF，OB=OD，角DOF=角BOE，所以三角形DOF全等于三角形BOE，所以BE=DF，角ODF=角OBE，所以BE//DF，所以DF与BE平行且相等
（2）根据三角形中，任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边，AE=OE则有
AB-BE<AE<AB+BE，BE-OE<BO<BE+OE，即3<OE<11，当OE=3时，1<BO<7，当OE=11时，4<BO<15，当OE=4时，0<BO<8
综合以上，取交集，所以0<BO<15

Answer 2

大于1小于15

Answer 3

【1】解：猜想df//=be..................................................................................................................证明：由ad//=bc,得到四边形adbc是一个平行四边形，所以dc//=ab.所以∠dcf等于∠eab.且由db,ac为该四边形的对角线，所以又得ao=oc,do=bo,又因为e,f为线段ao,oc的中点，即有ao=oc,且ae=1/2ao,cf=1/2co.故ae=cf.因为ae=cf,dc=ab,∠dcf=∠eab.所以△dcf≌△5bae。故有de=be.df=eb又因为eo=1/2ao,of=1/2co.且ao=co,得oe=of，因为oe=of,do=ob,eb=df.故有△dof≌△boe，所以be//df,故df//=be得证。.............................................................................................【2】解：由ab=7,be=4可得出3<ae<11,所以6<ao<22,所以13<bo<29.