Question

已知数列{an}的前n项和Sn=n^2+2n

设2bn=an-1,且Tn=(1/b1b2)+(1/b2b3)+(1/b3b4)+……+(1/bn+(bn+1))
an=2n+1，求Tn的值？

Answer 1

解：(1)已知数列{an}的前n项和:sn=n^2+2n，则s(n-1)=(n-1)^2+2(n-1)=n^2-1，所以an=sn-s(n-1)=2n+1，因为a1=s1=3，所以{an}是以a1=3，d=2的等差数列，所以an=2n+1(2)因为1/(anan+1)=1/(2n+1)*(2n+3)=0.5(1/(2n+1)-1/(2n+3))，所以tn=1/(a1a2)+1/(a2a3)+1/(a3a4)+…+1/(anan+1)=0.5(1/3-1/5+1/5-1/7+……+1/(2n+1)-1/(2n+3))=0.5(1/3-1/(2n+3))=-1/(4n+6)+1/6。

Answer 2

Sn=n^2+2n
当n=1时，a1=S1=3
当n≥2时，
an=Sn-S(n-1)
=n^2+2n-[2(n-1)^2+2(n-1)]
=2n+1
n=1时，上式成立
∴an=2n+1
2bn=a(n-1)=2n-1
bn=(2n-1)/2
∴Tn=4/(1*3)+4/(3*5)+4/(5*7)+.........+4/[(2n-1)(2n+1)]
=2[(1-1/3)+(1/3-1/5)+(1/5-1/7)+.........+1/(2n-1)-1/(2n+1)]
=2[1-1/(2n+1)]
=4n/(2n+1)

追问

是（an）-1，不是a（n-1）

追答

an=2n+1
2bn=(an)-1=2n
bn=n
∴Tn=1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+..........+1/[n*(n+1)]
=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+.........+1/n-1/(n+1)
=1-1/(n+1)
=n/(n+1)
裂项求和：1/[(n(n+1)]=1/n-1/(n+1)

Answer 3

Sn=n^2+2n 1
当n=1时a1=S1=3
当n≥2时，S(n-1)=(n-1)^2+2(n-1)=n^2-1 2
1-2得an=2n+1,因为2bn=an-1，所以bn=n
1/bn(bn+1)=1/(n+1)n=1/n-1/(n+1)
Tn=(1/b1b2)+(1/b2b3)+(1/b3b4)+……+(1/bn+(bn+1))
=1-1/2+1/2-1/3+...+1/n-1/(n+1)
=1-1/(n+1)
=n/(n+1)
n=1时，上式成立
综上所述Tn=n/(n+1)