Question

已知不等式（m^2+4m-5）x^2-4(m-1)x+3＞0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围

Answer 1

解：设f(x)=(m^2+4m-5)x^2-4(m-1)x+3，m^2+4m-5=0，m=1或-5，
当m=1时，m^2+4m-5=0及(m-1)=0，f(x)=3＞0对一切实数x恒成立，符合题意要求；
当m=-5时，m^2+4m-5=0及(m-1)=-6，f(x)=24x+3，不符合题意要求；

当m≠1及m≠-5时，f(x)十二次函数，f(x)＞0对一切实数x恒成立＜＝＝＝＞m^2+4m-5＞0及△=16(m-1)^2-12(m^2+4m-5)＜0＜＝＝＝＞m＞1或m＜-5及1＜m＜19＜＝＝＝＞1＜m＜19

综上所述，实数m的取值范围1≤m＜19。

Answer 2

1<m<19，计算过程如下：
首先，m^2+4m-5>0，(m+5)(m-1)>0，m<-5或m>1
其次，原式变为：
x^2-4x/(m+5) + 3/[(m+5)(m-1)]>0
(x-2/(m+5))^2 > 4/(m+5)^2 - 3/[(m+5)(m-1)]=(m-19)/[(m+5)(m-1)]
要使得对于任意x不等式恒成立，显然m-19<0，即m<19
综上，m的取值范围是(1,19)

Answer 3

以上两位都漏掉了对二次项系数(m+5)(m-1)=0的讨论！
【解】(m+5)(m-1)x^2-4(m-1)x+3>0
1. m=-5 (m+5)(m-1)=0化为：24x＋3>0 恒成立，显然不可能。
2. m=1 (m+5)(m-1)=0化为：3>0 恒成立 符合
3.(m+5)(m-1)≠0
这是y＝(m+5)(m-1)xx-4(m-1)x+3>0
只能是抛物线开口向上，且顶点纵坐标大于0
即：(m+5)(m-1)>0 (b方-4ac)/4a>0
即m>1 或m<-5
而且 〔4(m-1)〕^2-4*3*(m^2+4m-5)>0
即m>1 或m<-5
而且 (m-1)(m-19)<0
1<m<19
所以1<m<19

综合3种情况，得到实数m的取值范围为1≤m<19

Answer 4

(m+5)(m-1)x²-4(m-1)x+3>0

i）m=-5 (m+5)(m-1)=0
化为：24x＋3>0 恒成立，显然不可能。

ii)m=1 (m+5)(m-1)=0
化为：3>0 恒成立 符合
3(m+5)(m-1)≠0
这时y＝(m+5)(m-1)x²-4(m-1)x+3>0
只能是抛物线开口向上，且与x轴无交点
即：(m+5)(m-1)>0
Δ=b²-4ac＜0
即m>1 或m<-5而且 [-4(m-1)]²-4(m+5)(m-1)×3＜0
即m>1 或m<-5而且 (m-1)(m-19)<0 1<m<19
所以1<m<19

综合3种情况，得到实数m的取值范围为1≤m<19

Answer 5

俊狼猎英团队为您解答

m^2+4m-5>0得m>1或m<-5，
Δ=16(m-1)^2-12(m^2+4m-5)
=16(m-1)^2-12(m-1)(m+5)
=4(m-1)(m-19)>0得：
m<1或m>19，
∴m>19或m<-5。