Question

已知函数f(x)=a/2-(2^x)/(2^x+1)(a为常数)(1)是否存在实数a,使函数f(x)是R上的奇函数，若不存在，说明...

已知函数f(x)=a/2-(2^x)/(2^x+1)(a为常数)(1)是否存在实数a,使函数f(x)是R上的奇函数，若不存在，说明理由，若存在，求函数f(x)的值域(2)探索f(x)的单调性，并利用定义加以证明

Answer 1

1.
函数f(x)是R上的奇函数
对任意x都有f(-x)=-f(x)
a/2-[2^(-x)]/[2^(-x)+1]=-a/2+2^x/(2^x+1)
a/2-1/(2^x+1)=-a/2+2^x/(2^x+1)
a=1
f(x)=1/2-2^x/(2^x+1)=-1/2+1/(2^x+1)
函数f(x)的值域(-1/2,1/2)
2
设x1<x2
f(x1)-f(x2)=1/(2^x1+1)-1/(2^x2+1)
=(2^x2-2^x1)/[(2^x1+1)(2^x2+1)]
因为x1<x2
所以2^x2>2^x1
2^x2-2^x1>0
f(x1)-f(x2)
=(2^x2-2^x1)/[(2^x1+1)(2^x2+1)]>0
所以f(x)为R上的减函数.

Answer 2

（1）利用奇函数f(x)=f(-x)特性，求出对任意x都成立的实数，前面已有网友得出a=1；
所构造的函数为：f(x)=1/2-(2^x)/(2^x+1)；
因指数函数2^x>0，所以 0<(2^x)/(2^x+1)<1，-1/2<f(x)<1/2；
（2）函数f(x)在其定义区域上是单调递减的，证明如下；
对任意实数X1<X2，
f(X)-f(X1)=(1/2-(2^(X2))/(2^(X2)+1)-(1/2-(2^(X1))/(2^(X1)+1)
=(2^(X1))/(2^(X1)+1)-(2^(X2))/(2^(X2)+1)
={(2^(X1))*(2^(X2))+1)-(2^(X2))*(2^(X1))+1)}/(2^(X1))+1)*(2^(X2))+1)；
=(X1-X2)/(2^(X1))+1)*(2^(X2))+1)；
上式中分子（X1-X2)<0；分母为指数函数的和积也大于0；故f(X)-f(X1)<0，f(x)是单调弟减函数。

Answer 3

首先，若f(x)在R上为奇函数
则有f(x)+f(-x)=0
特别地，f(0)+f(-0)=0
即须有f(0)=0
而此函数中f(0)=(a-1)/2
故必须有a=1
下证a=1符合题意

a=1时
f(-x)
=[2^(-x)-1]/[2^(-x)+1]
=[1-2^x]/[1+2^x]
=-f(x)
即证
纯在