已知a,b是实常数,求函数y=(x-a)²+(x-b)²的最小值

①用a²+b²≥2ab得y≥2(x-a)(x-b)=2[x²-(a+b)x+ab]当x=(a+b)/2时最小最小-(a-b)²/2... ①用a²+b²≥2ab得y≥2(x-a)(x-b)=2[x²-(a+b)x+ab] 当x=(a+b)/2时最小
最小-(a-b)²/2
②用a²+b²≥(a+b²/2 得(a-b)²/2 这是正确的 1 错在那里
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yxue
2012-08-12 · TA获得超过2.9万个赞
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y(x)=(x-a)²+(x-b)²
1)方法1:用导数求极值
y'(x)=2(x-a)+2(x-b)=2[2x-(a+b)];y‘’(x)=4>0
令:y'(x)=0,解出:x*=(a+b)/2
使y(x*) 为最小值:y(x*)=(a-b)²/2
2)方法2:用二次函数配方法求极值
y(x)=2[x²-(a+b)x+(a²+b²)/2]
=2[x²-2(a+b)x/2+(a+b)²/4 +(a²+b²)/2-(a+b)²/4]
=2{[x-(a+b)/2]²+(a-b)²/4}
可见:x=(a+b)/2 使y(x)取最小值:(a-b)²/2.
3)方法3:利用不等式:A²+B²>=2AB同样可得正确结果,但得区分A,B的正负,对于A,B异号的
情况,不等式自然成立,此时应写成:
y=(x-a)²+(x-b)²>=2(x-a)(b-x)=-2[x²-(a+b)x+ab]=-2{[x-(a+b)/2]²+ab-(a+b)²/4}
当x=(a+b)/2时,y的最小值:为 -2ab+(a+b)²/2=(a-b)²/2
对于:A=B时,x=a=b y的最小值为0.
追问
谢谢  学哥  
能不能给一下QQ
追答
不好意思,我没有QQ号,Email:king_zyx@163.com
暖眸敏1V
2012-08-12 · TA获得超过9.6万个赞
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①用a²+b²≥2ab得y≥2(x-a)(x-b)
1) 取等号的条件为x-a=x-b,但a与b不相等呢,
2) 还有符号问题x-a,x-b可能取负值,此时等号不可能成立
3)用均值定理,一边应该为定值,不能两边都是变量

②用a²+b²≥(a+b²/2 得(a-b)²/2 这是正确,
符合用均值的条件
更多追问追答
追问
谢谢  你的回答非常棒 但楼下的更好一些 更全面
追答
随你了,我的回答是针对你的提问的,
本题是二次函数,最好的解决方法是
配方法。
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