Question

两道高中数学题

1：设f（x）为定义在R上的偶函数，当x≤-1时，y=f(x)的图象是经过点（-2,0），斜率为1的射线，又在y=f（x）的图象中有一部分是顶点在（0,2），且过点（-1,1）的一段抛物线，试写出函数f（x）的表达式。
2：定义在R上的函数y=f(x)满足f（2+x）=f(2-x)，且f（x）是偶函数，当x∈【0,2】时，f（x）=2x-1，求x∈【-4,0】时f（x）的表达式。
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Answer 1

1、解：f(x)为定义在R上的偶函数，即f（x）图像关于y轴对称
x≤-1时，设f（x）=x+b，则
0=-2+b
b=2，即x≤-1，f（x）=x+2
所以x≥1，f（x）=f（-x）=-x+2
-1≤x≤1，f（x）为抛物线，顶点为(0,2),对称轴为y轴，设f（x）=ax^2+2，则
-1=a+2，a=-1
所以-1≤x≤1，f（x）=-x^2+2

f（x）=x+2 （x≤-1）
f（x）=-x^2+2 （-1≤x≤1）
f(x)=-x+2 (x≥1)

2、∵定义在R上的函数y=fx满足f(2+x)=f(2-x)
∴图像关于x=2对称
∵是偶函数
∴关于y轴对称
当x∈[0,2]时,f（x）=2x-1
∴当x∈[-2,0]时,f（x）=-2x-1
∴当x∈[2,4]时，由x∈[-2,0]时的图像向右平移4个单位f（x）=-2（x-4）-1
∴当x∈[-4,-2]时，f（x）=-(-2（x-4))-1=2x+7
∴x∈[-4,0]时分为两段，当x∈[-4,-2]时（x）=2x+7
当x∈[-2,0]时,f（x）=-2x-1

Answer 2

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