Question

高一数学题 已知函数f(x)=ax²+2x-a，若对任意a∈[-1，1]，f(x)>0恒成立，求x的取值范围

已知函数f(x)=ax²+2x-a，若对任意a∈[-1，1]，f(x)>0恒成立，求x的取值范围

Answer 1

 

 

 

根据图象可知，我们只需要考虑x∈[0，π/2 
)，此时g（x）=ax-sinx，利用导数工具，求导g′（x）=a-cosx，再对a值进行分类讨论研究函数g（x）的单调性，从而求出实数a的取值范围；

 

 

解：（1）根据图象可知，我们只需要考虑x∈[0，π /2 )，
此时g（x）=ax-sinx
所以g′（x）=a-cosx
当a≥1时，g′（x）≥0，易知函数g（x）单调增，
从而g（x）≥g（0）=0，符合题意；
当a≤0，g′（x）＜0，函数g（x）单调减，从而g（x）≤g（0）=0，不符合题意；
当0＜a＜1时，显然存在x0∈[0，π/ 2 )，使得g′（x）=0，且x∈[0，x0）时函数g（x）单调减，
从而g（x）≤g（0）=0，不符合题意．
综上讨论知a≥1．

追问

你在干社么？？

追答

(⊙o⊙)哦

f(x)=ax²＋2x－a
这个函数可以看成是关于a的一次函数，即：
g(a)=(x²－1)a＋2x
这个函数的图像是一条直线，要使得此直线在[－1，1]上满足：g(a)>0，只要：
g(－1)>0且g(1)>0就可以了，得：
g(－1)=－x²＋2x＋1>0、g(1)=x²＋2x－1>0
x²－2x－10
得：－1＋√2<x<1＋√2

追问

－1＋√2<x<1＋√2
这最后一步怎么得来的？？

追答

把二次函数的恒成立问题转化为y=a（x-2）+x2-4x+4＞0在a∈[-1，1]上恒成立，再利用一次函数函数值恒大于0所满足的条件即可求出x的取值范围．

解：原问题可转化为关于a的一次函数y=a（x-2）+x2-4x+4＞0在a∈[-1，1]上恒成立，
只需 (-1)(x-2)+x2-4x+4＞0 1×(x-2)+x2-4x+4＞0 ⇒ x＞3或x＜2 x＞2或x＜1 ⇒x＜1或x＞3．
故答案为：（-∞‚1）∪（3，+∞）．

此题是一道常见的题型，把关于x的函数转化为关于a的函数，构造一次函数，因为一次函数是单调函数易于求解，最此类恒成立题要注意．

追问

算了，你再别答了。。

Answer 2

f(x)=ax²＋2x－a
这个函数可以看成是关于a的一次函数，即：
g(a)=(x²－1)a＋2x
这个函数的图像是一条直线，要使得此直线在[－1，1]上满足：g(a)>0，只要：
g(－1)>0且g(1)>0就可以了，得：
g(－1)=－x²＋2x＋1>0、g(1)=x²＋2x－1>0
x²－2x－1<0且x²＋2x－1>0
得：－1＋√2<x<1＋√2

追问

－1＋√2<x<1＋√2
这最后一步怎么得来的？？

追答

1、x²－2x－10
(x＋1)²>2
x－1＋√2 ---------------(2)
由(1)、(2)，得：
－1＋√2<x<1＋√2