Question

已知代数式（x-a)(x-b)-(x-b)(c-x)+(a-x)(c-x)是一个完全平方式

，试问以a,b,c为边的三角形是什么三角形？

Answer 1

（x-a)(x-b)-(x-b)(c-x)+(a-x)(c-x)
=（x^2-ax-bx+ab)-(-x^2+bx+cx-bc)+(x^2-ax-cx+ac)
=3x^2-2(a+b+c)x+ab+bc+ac
=3[x-(a+b+c)/3]^2-(a+b+c)^2/3+(ab+bc+ac)
由于它对于任何x都是完全平均式
所以-(a+b+c)^2/3+(ab+bc+ac)=0
即(a+b+c)^2=3(ab+bc+ac)左边化开减去右边：a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0
（a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=0
所以a=b=c
所以是等边三角形