Question

2010年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷11题的六点共圆的证明

11.（22分）已知△ABC的三边长度各不相等，D，E，F分别是∠A，∠B，∠C的平分线与边BC，CA，AB的垂直平分线的交点.求证：△ABC的面积小于△DEF的面积.

Answer 1

法一:
∠A平分线与△ABC外接圆交于弧AB中点;
另一方面, BC垂直平分线交△ABC外接圆于弧AB中点;
故D即弧AB中点.
A、B、C、D共圆，同理可得六点共圆。
法二：
因为BD=DC;
∠BAD=∠CAD
故BD/sin∠BAD=DC/sin∠CAD
从而△ABD与△ADC的外接圆半径相等， 设为R.
则sin∠ABD=AD/(2R)=sin∠ACD
又因为∠ABD不等于∠ACD，否则推出△ABC是等腰三角形。
从而∠ABD+∠ACD=180，A、B、C、D共圆.

Answer 2

证明：由题设可证，A,B,C,D,E,F六点共圆
不妨设圆半径为1，则有S△ABC=1/2(sin2A+sin2b+sin2c)
S△DEF=1/2(sinA+sinb+sinc)
由于sin2A+sin2b+sin2c
=1/2(sin2A+sin2b)+1/2(sin2b+sin2c)+1/2(sin2A+sin2c)
=sin(A+B)sin(A-B)+sin(B+C)sin(B-C)+sin(C+A)sin(C-A)
<sin(A+B)+sin(B+C)+sin(C+A)
=sinA+sinb+sinc
所以 S△ABC<S△DEF

追问

就是要求证六点共圆啊

追答

好吧，那就是我给你的网址里有，你去看看吧