Question

函数只有一个第二类间断点,有界,可积分吗

关于导函数 与可积分
1.导函数只有在第二类间断点时,才有原函数.无穷多个间断点的函数不可积分.都是积分不是自相矛盾了吗.
2.在闭区间上有界,且只有有限个间断点函数是课积的.导函数存在滴一类间断点必然么有原函数.这也不是自相矛盾了吗?

Answer 1

你的这两个问题本质是相同的,关键在于你混淆了可积和原函数是初等函数这两个概念.函数可积是关于定积分的概念,本质上就是求和,如果这个和存在就是可积的,它不仅和被积函数有关,还和积分区间有关.而你所谓的“有原函数”这个说法其实准确的说法是“原函数是初等函数”,这是关于不定积分的概念,它只和函数的表达式有关,任何连续函数都可以以变上限积分函数作为其原函数的,例如sinx/x的原函数是∫(sinx/x)dx（积分限a到x）,只是这个原函数不是初等函数而已.函数可积和其原函数是初等函数这两个事情之间没有必然的联系,刚才的例子就是可积但原函数不是初等函数,而原函数是初等函数但不可积的例子就更多了,例如1/x有原函数lnx,但它在(0,1)上不可积.以你的第一个问题为例,“.导函数只有在第二类间断点时,才有原函数”,这是指导函数只有第二类间断点时原函数才是初等函数,"无穷多个间断点的函数不可积分",这句话本身就是错的,应该是有无穷型间断点的函数不可积分,而这也是说其黎曼和不存在,和原函数是否是初等函数无关,两者没有矛盾.