设定义在R上的函数f(x)满足:对任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),对任意的x>0都有
设定义在R上的函数f(x)满足:对任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),对任意的x>0都有f(x)>0,且f(1)=2,若对任意的x∈[-3,3]都有f...
设定义在R上的函数f(x)满足:对任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),对任意的x>0都有f(x)>0,且f(1)=2,若对任意的x∈[-3,3]都有f(x)≤a,则实数a的取值范围为?
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:∵义在R上的函数f(x)满足:对任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),
∴f(0+0)=2f(0),
∴f(0)=0;令y=-x,
f(x)+f(-x)=f(0)=0,
∴f(-x)=-f(x),
∴函数f(x)为R上的奇函数;
∵x∈(0,+∞),都有f(x)>0,
∴当-3≤x1<x2≤3时,
f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)>0,
∴f(x2)>f(x1),
∴f(x)在[-3,3]上是增函数,
又x∈(0,+∞)时,f(x)>0,且f(1)=2,
∴f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=6,由题意可得,x∈[-3,3]时,-6≤f(x)≤6,
又对任意的x∈[-3,3]都有f(x)≤a,
∴a≥6,即实数a的取值范围为[6,+∞).
∴f(0+0)=2f(0),
∴f(0)=0;令y=-x,
f(x)+f(-x)=f(0)=0,
∴f(-x)=-f(x),
∴函数f(x)为R上的奇函数;
∵x∈(0,+∞),都有f(x)>0,
∴当-3≤x1<x2≤3时,
f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)>0,
∴f(x2)>f(x1),
∴f(x)在[-3,3]上是增函数,
又x∈(0,+∞)时,f(x)>0,且f(1)=2,
∴f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=6,由题意可得,x∈[-3,3]时,-6≤f(x)≤6,
又对任意的x∈[-3,3]都有f(x)≤a,
∴a≥6,即实数a的取值范围为[6,+∞).
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f(x)max≤a
因为f(x+y)=f(x)+f(y),所以f(x+y)-f(x)=f(y),所以f(x)-f(y)=f(x-y),
f(2)=f(1)+f(1)=2+2=4 f(3)=f(2)+f(1)=4+2=6
a∈(6,+∞)
因为f(x+y)=f(x)+f(y),所以f(x+y)-f(x)=f(y),所以f(x)-f(y)=f(x-y),
f(2)=f(1)+f(1)=2+2=4 f(3)=f(2)+f(1)=4+2=6
a∈(6,+∞)
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