Question

设定义在R上的函数f(x)满足:对任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),对任意的x＞0都有

设定义在R上的函数f(x)满足:对任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),对任意的x＞0都有f(x)＞0,且f(1)=2，若对任意的x∈[-3,3]都有f(x)≤a,则实数a的取值范围为？

Answer 1

：∵义在R上的函数f（x）满足：对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），
∴f（0+0）=2f（0），
∴f（0）=0；令y=-x，
f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴函数f（x）为R上的奇函数；
∵x∈（0，+∞），都有f（x）＞0，
∴当-3≤x1＜x2≤3时，
f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2-x1）＞0，
∴f（x2）＞f（x1），
∴f（x）在[-3，3]上是增函数，
又x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，且f（1）=2，
∴f（3）=f（2）+f（1）=f（1）+f（1）+f（1）=6，由题意可得，x∈[-3，3]时，-6≤f（x）≤6，
又对任意的x∈[-3，3]都有f（x）≤a，
∴a≥6，即实数a的取值范围为[6，+∞）．

Answer 2

f(x)max≤a
因为f(x+y)=f(x)+f(y),所以f(x+y)-f(x)=f(y),所以f(x)-f(y)=f(x-y),
f(2)=f(1)+f(1)=2+2=4 f(3)=f(2)+f(1)=4+2=6
a∈(6,＋∞)

Answer 3

a≥6.