Question

2009初中数学竞赛试题

如图，已知E、F是矩形ABCD的BC边的三等分点，G、H是CD边的三等分点，连结AE、AF和BG、BH，AE与BG交于M，AF与BH交于N，连结MN。求证：MN//BC。

Answer 1

证明：
延长BH交AD的延长线于点P,
由BC∥AD,得△BCH∽△PDH
所以BC/PD=CH/DH=1/2
所以DP=2BC
所以AP=3BC
因为F是BC的三等分点
所以BF/BC=2/3,
所以AP/BF=9/2
由BC∥AD,得△ANP∽△FNB
所以AN/FN=AP/FB=9/2,

同理，
延长BM交AD的延长线于点Q,
由BC∥AD,得△BCG∽△PDG
所以BC/PD=CG/DG=2,
所以BC=2DQ,
所以AQ/BC=3/2
因为E是BC的三等分点
所以BE/BC=1/3,
所以AQ/BE=9/2
由BC∥AD,得△BEM∽△QAM,
所以AQ/BE=AM/EM=9/2,
所以AM/ME=AN/NF=9/2
所以MN∥BC