Question

已知i函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c,过曲线y=f(x)上的点P(1,f(1))的切线方程为为y=3x+1

1.若y=f(x)在x=-2时有极值，求f(x)的解析式
2.在（1）的条件下，在闭区间（-2,1）上是否存在k(k<150)个实数x1,x2,x3,........xk,使得f(x1)+f(x2)+.........f(xk)>=2012成立？

Answer 1

f(x)=x^3+ax^2+bx+c，所以 f '(x)=3x^2+2ax+b 。
1）因为 y=f(x) 在 x= -2 时有极值，则 f '(-2)=0 ，
即 12-4a+b=0 ，（1）
又 f(1)=3*1+1=4=1+a+b+c ，(2)
且 k=f '(1)=3+2a+b=3 ，（3）
由以上三式解得 a=2 ，b= -4 ，c=5 ，
因此 f(x)=x^3+2x^2-4x+5 。
2）f '(x)=3x^2+4x-4=3(x+2)(x-2/3) ，
所以，函数在 x= -2 时取极大值 f(-2)=13 ，
由于 2012/150>13 ，
所以，不存在 k 个实数 x1，x2，。。。，xk 使 f(x1)+f(x2)+.....+f(xk)>=2012 成立 。
（因为即使是最大的 150 个 13 的和也达不到 2012 ）

追问

朋友，那是过点P的切线哦，不是在点P的切线

追答

题目不是说了，P 在曲线上嘛。

追问

莫非这条曲线就没有一条切线会经过这个在曲线上的点？

追答

我知道你要说什么。但请你不要太较真，那样的话，题目就会太难了。

通常，过三次曲线上某些点的切线可能不止一条。但此题应该是P点处的切线，虽然表述上采用“过P的切线“。

Answer 2

解：（I）由f（x）=x3+ax2+bx+c，得f'（x）=3x2+2ax+b
由题知f′(1)=33×1+1=f(1)f′(-2)=0​⇒
2a+b+3=34=1+a+b+c12-4a+b=0​⇒
a=2b=-4c=5​
所以f（x）=x3+2x2-4x+5
（II）f'（x）=3x2+2ax+b=3x2+4x-4=（3x-2）（x+2），则x、f'（x）、f（x）的关系如下表．
x-3（-3，-2）-2(-2，
23)23(
23， 1)1f'（x）​+0-0+​f（x）8↑极大↓极小↑4∵f（x）极大=f（-2）=13，f（-3）=8，f（1）=4
∴f（x）在[-3，1]的最大值为13
（III）由题意知，f′（x）≤≤0在[-1，0]上恒成立，
由（I）知即f'（x）=3x2+-bx+b=3x2+b≤0在[-1，0]上恒成立，
利用二次函数的性质，有f′(-1)=2b+3≤0f′(0)=b≤0​，
从而得b≤-
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Answer 3

求出a=-13/2
b=14，c=-9/2
提示第一先求导，第二x=2有极值此处的导数为零。第三用好切线方程，它和f(x)有交点
第二问：应该不存在，你可以确定一下函数在这个区间的单调性，应该为递增，求一下最大值，判断一下全部相加的数都取最大值时和2012比较哪个大？
以上是思路，结果你算算，看看行不行

Answer 4

大哥了，这是基本的数学模型题，好不？列方程组就可以了
一个是吧P点带入直线，解除f（1），然后代入fx
fx求导

追问

朋友，那是过点P的切线哦，不是在点P的切线

Answer 5

我想说切线问题上你太钻牛角尖了。。。