Question

高中数学问题 大神给看看

平面中有n个点，任意三点不共线，取三点作三角形，共能做n（n-1）（n-2）/6 个，哪位大神能证明这个公式？谢谢了

Answer 1

解：因为取三点成一个三角形，那么取第一点有n取法，第二点有n-1种，第三点有n-2种，但是当假设1，2，3为三点，那么取1，2，3就会构成一个三角形，但按上面的取法就下列集中重复情况：
取1为第一点时，可以取2为第二点，取3为第三点，
取1为第一点时，可以取3为第二点，取2为第三点，
取2为第一点时，可以取1为第二点，取3为第三点，
取2为第一点时，可以取3为第二点，取1为第三点，
取3为第一点时，可以取1为第二点，取2为第三点，
取3为第一点时，可以取2为第二点，取1为第三点，
因此3个点按照上面的取法就要重复6次
所以n（n-1）（n-2）/6

Answer 2

首先想三角形的生成过程，一条线段和不与该线段共线的一点可构成一个三角形，平面内n个点，每个点作为起始端点与其他n-1个点各可连成n-1条线段，共有n(n-1)条，但是线段的两个端点各做了一次起始端点，每条线段被算了两次，故平面内线段总数应为n(n-1)/2

问题得到简化，同样的思路，每条线段作为起始边与其他n-2个点各可组成n-2个三角形，共n(n-1)(n-2)/2个，但是三角形三边各做了一次起始边，即每个三角形被算了三次，应为上述总数除以3，故最终可形成的三角形个数为
n(n-1)(n-2)/2/3=n(n-1)(n-2)/6

Answer 3

任意3点不共线 就是说任意取3个点就是一个三角形。。
就变成每次取3个点 可以取多少种
取第一个点有n种 第二个点就是n-1 种 最后一个点事就是n-2种
即n（n-1）（n-2） 但是这样取出来的点是有顺序的= = 比如 abc三个点 我用 acb的取法得到的三角形是一样的- - abc的排列有6种= = 所以结果还要除以6

Answer 4

如果n个点中任意3个点都不在一条直线上，那么任意取3个点都可以组成一个三角形，所以三角形的个数就是

C（n,3)=n(n-1)(n-2)/3!=n(n-1)(n-2)/6

Answer 5

这个可以用排列组合的知识来解释 总共有n个点 依次取3个点共有n(n-1)(n-2)种组合 但是有重复的 共有A3的排列重复为3*2*1=6 所以总共有n(n-1)(n-2)/6 个