Question

已知A为n阶矩阵，求证对于方程组Ax=b对于任意的b都有解的充要条件是A的行列式为零

Answer 1

应该是 A 的行列式不为零 吧？？
只有 A 的行列式不为零，才可能 对任意的 b ，Ax=b 都有唯一解。
若 A 的行列式为零，则有可能无解。如 0x=1 。

追问

哦哦，是不为零，必要性我不会证明

追答

由已知，方程组对 b1=(1，0，0。。。0)^T ，b2=(0，1，0，0.。。。0)^T ，。。。，
bn=(0，0，。。。0，1)^T 分别有解 x1^T，x2^T ，。。。，xn^T ，
记 X=(x1^T ，x2^T ，。。。，xn^T) ，
则 AX=(b1，b2，。。。，bn)=E ，其中 E 为单位矩阵，
由此得 |A|*|X|=1 ，
因此 |A|≠0 。

追问

答案貌似是这样的，为什么随便选取的也可以作为证明？这样充分吗？

追答

条件是对任意的 b 都有解，那么取 n 个特殊的 b 当然也有解 。这样做正是体现了一般性与特殊性的辩证关系。

追问

还有没有其他的解题方法呢？

追答

别的方法应该还有，但本人能力有限，只找到这一种证明方法。