Question

两个复数互为共轭复数是它们的积为实数的必要条件，对吗？ 修改问题

Answer 1

设 Z1 = a1 + i * b1
Z2 = a2 + i * b2
则有：
Z1 * Z2 = (a1 * a2 + i² * b1 * b2) + i * (a1 * b2 + a2 * b1)
= (a1 * a2 - b1 * b2) + i * (a1 * b2 + a2 * b1) 注：i² = -1
很显然，只要 (a1 * b2 + a2 * b1) = 0，就可以知道这两个复数的乘积是实数。
对于共轭复数，a1 = a2, b1 = -b2。刚好能够满足这个条件。
但是，真正的条件是 a1 * b2 + a2 * b1 = 0。比如：a1 = 2, b2 = 6; a2 = 3, b1 = -4，也能够满足乘积是实数的需求。即 Z1 = 2 - 4i, Z2 = 3 + 6i，它们的乘积 = 2 * 3 + 6 * 4 = 30 是实数，但它们并不是互为共轭复数。
所以，正确的说法是：两个复数互为共轭复数是它们的积为实数的充分非必要条件。

Answer 2

满足充分性，不满足必要性。
例如（a+bi）(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,属于实数，当ad+bc=0时满足，
（2-3i）(4+6i)=26为实数，两者不是共轭复数。

Answer 3

这个不是必要条件，而是一个充分条件，很明显一个复数Z在和它的共轭复数的两倍的积，就是这个复数的模的平方的两倍，很显然是一个实数。

Answer 4

x=a+bi , y=a-bi
两个复数互为共轭复数
(a+bi)(a-bi)= a^2 +b^2 为实数
ie
两个复数互为共轭复数 =>它们的积为实数
反之就不一定
它们的积为实数 不能推导出两个复数互为共轭复数
e.g
x= 3i, y =4i
xy =-12 它们的积为实数
但 x，y 不是互为共轭复数