怎么判断偏导数是否存在?偏导数存在的条件是什么?
偏导数由极限定义。根据定义写出某点(x0,Y0)偏导数的极限表达式。此时极限的存在性与偏导数的存在性是一致的,因此证明偏导数存在性的任务被转化为证明极限的存在性。扩展数据,为了验证偏导数的存在性,此类问题通常证明在某一点上存在偏导数。请注意,此时不能使用推导公式。
以一元函数为例,这是因为由求导公式计算的导数函数f’(x)通常包含不连续性,而不连续性x0处的f’(x)是无意义的。例如,FY(x,y)是点(x,y)处y的偏导数。应该注意的是,这里x被视为一个常数。如果需要y在(0,0)处的偏导数,首先将x固定到x=0,即首先找到FY(0,y)=[4*(y^3)*e^(y^2)]/(y^2)=4*y*e^(y^2),然后替换y=0得到FY(0,0)=4*0*1=0。
多变量函数的偏导数是其对一个变量的导数,同时保持其他变量不变(相对于全导数,允许所有变量发生变化)。偏导数在向量分析和微分几何中很有用。偏导数函数的定义是,如果Z=f(x,y)对x的偏导数存在于D区域的每个点(x,y),则该偏导数是x,y的函数,称为函数Z=f(x,y)对自变量x的偏导数。
类似地,对于Y的偏导数函数,应该注意,偏导数函数不仅可以在某一点上偏置,而且可以在某一区域的D上偏置。如果z=f(x,y)在P(x,y)处有偏导数,则点P必须属于区域D,即区域D。因此,我们自然可以认为P点的某个域属于D区域,因此P点的某个域中也必然存在偏导数函数。
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