Question

能否举出一个函数的例子,既不是初等函数,也不是分段函数?

Answer 1

可以。sinx/x的原函数，e^x²的原函数……原函数非初等的话我们普通方法是积不出来的。

函数为初等函数的必要条件是函数在定义域内为连续函数。定义在区间a上的由有限个初等函数表示的分段函数仍为初等函数的充分条件为函数在a上连续，此时分段函数可由一个符合初等函数定义的式子表示。

定义：

初等函数是由幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数与常数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方）及有限次函数复合所产生、并且在定义域上能用一个解析式表示的函数。

分段函数：对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。
一般来说，分段函数不是初等函数，因为在这些分段函数的定义域上不能用一个解析式表示，但y=|x|是初等函数。一般用表格表示的函数不是初等函数。

Answer 2

可以。sinx/x的原函数，e^x²的原函数……原函数非初等的话我们普通方法是积不出来的。
函数为初等函数的必要条件是函数在定义域内为连续函数。定义在区间a上的由有限个初等函数表示的分段函数仍为初等函数的充分条件为函数在a上连续，此时分段函数可由一个符合初等函数定义的式子表示。

Answer 3

这样的例子有很多，y=1/2X^2+1/x，这个不是初等函数，也不是分段函数。

Answer 4

既不是初等函数，也不是分段函数的例子，如y=√[x+（√x+√x+…）]