Question

极坐标下的二重积分,积分公式里的rdr是如何来的?

Answer 1

可以先用微元法得到二重积分，然后将 ρ,θ看做新的变量X与Y，再利用直角坐标系来计算可以得到二次积分的表达式，这个应该好理解些吧。

之所以极坐标在计算二重积分时有不同的原因是在同一个dθ上面积不是均匀分布的，这也是为什么会与直角坐标系有区别的原因。

在极坐标中

在极坐标系下计算二重积分，需将被积函数f（x，y），积分区域D以及面积元素dσ都用极坐标表示。函数f（x，y）的极坐标形式为f（rcosθ，rsinθ）。

为得到极坐标下的面积元素dσ的转换，用坐标曲线网去分割D，即用以r=a，即O为圆心r为半径的圆和以θ=b，O为起点的射线去无穷分割D，设Δσ就是r到r+dr和从θ到θ+dθ的小区域。