Question

曲线如何求渐近线?

Answer 1

定义：若曲线C上的动点P沿着曲线无限地远离原点时，点P与某定直线L的距离趋于0，则称直线L为曲线C的渐近线。

若曲线y=f(x)存在渐近线y=kx+b，则称其为斜渐近线；若存在渐近线x=x0，则称其为垂直渐近线。

如图：假设曲线y=f(x)有斜渐近线y=kx+b。

则曲线上动点P到渐近线的距离为

|PN|=|PM·cosα｜＝|f(x)-(kx+b)|1/√（1+k^2 )。

按渐近线定义，当x→＋∞时，｜PN|→0。

即lim( x→＋∞）＝0，或lim( x→＋∞）＝b。

又lim( x→＋∞）＝lim┬（x→＋∞）1/x =0·b=0。

∴lim(x→＋∞）f(x)/x=k。

因此常数k,b可确定。反之，若按以上方法能求得k,b。

则y=kx+b就是曲线y=f(x)的渐近线。

若函数f满足：lim( x→x0 )f(x)=∞。

或lim( x→x0+ ) f(x)=∞，lim( x→x0- ) f(x)=∞。

根据渐近线的定义可知，曲线y=f(x)有垂直渐近线x=x0。

例：求曲线f(x)=x^3/(x^2+2x-3)的渐近线。

解：设渐近线y=kx+b，则

k=lim( x→＋∞）f(x)/x=lim( x→＋∞）x^2/(x^2+2x-3)=1。

b=lim( x→＋∞）＝lim┬（x→＋∞）（x^3-(x^3+2x^2-3x))/(x^2+2x-3)= -2。

∴f(x)有斜渐近线：y=x-2。

又因为x^3/(x^2+2x-3)=x^3/((x+3)(x-1))。

可知lim( x→－3) f(x)=∞，lim(x→1) f(x)=∞。

∴f(x)有垂直渐近线：x=-3和x=1。